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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）A4BCD2直线与圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D相交或相切3设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第
2、一象限B第二象限C第三象限D第四象限4木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ） ABCD5如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A72B64C48D326定义两种运算“”与“”，对任意，满足下列运算性质：，；（） ，则（2020）（20202018）的值为( )ABCD7已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）ABCD8如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若
3、向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134B67C182D1089在中，点D是线段BC上任意一点，则（ ）AB-2CD210已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD11已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）A1BC2D12若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60，则体积为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知实数，满足约束条件，则的最大值是_.14已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则
4、该圆柱的表面积为_15在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：三棱锥的体积不变；当为中点时，二面角 的余弦值为；若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是_（写出所有说法正确的编号）16已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当轴，点的横坐标是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账
5、日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.参考数据：.18（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：函数的周期为；是函数的对
6、称轴；且在区间上单调.（）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（）若，求函数的值域.19（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，二面角为直二面角.（）证明：；（）求二面角的余弦值.20（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，求的取值范围21（12分）设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.22（10分）如图，在棱长为的正方形中，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角（1）证明：；（2）求与面所成角的正弦值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在
7、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，此时， 因为，在递增，所以的最大值.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论【详解】解：由题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题3D【解析】先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运
8、算化简，求出，得到其坐标可得答案.【详解】解：由，得，所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.4C【解析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.5B【解析】由
9、三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。6B【解
10、析】根据新运算的定义分别得出2020和20202018的值，可得选项.【详解】由（） ，得（+2），又，所以， ，以此类推，202020182018，又，所以， ，以此类推，2020，所以（2020）（20202018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.7C【解析】利用复数相等的条件求得，则答案可求【详解】由，得，对应的点的坐标为，故选：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题8B【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，则小正方形的
11、边长为，小正方形的面积，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.9A【解析】设，用表示出，求出的值即可得出答案.【详解】设由，.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.10D【解析】讨论，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】当时，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且；当时，；当时，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则，故.故选：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和
12、应用能力.11B【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.12D【解析】设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，由已知，解得，所以圆锥的体积.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
13、0分。13【解析】令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域，如图令，则，显然当直线经过时，最大，且，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14【解析】设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x，则由，得，故答案为：【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15【解析】，平面，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题；由已知得出点P在面上的射影
14、在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题；当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题；过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题.【详解】，平面，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以正确；在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以正确；当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:，所以，设面的法向量为，则，即，令，则，设面的法向量为， ，即， ，由图示可知，二面角 是锐二面角，所以二面角的余
