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1、机械控制工程演示文稿1页，共36页，星期四。（优选）机械控制工程2页，共36页，星期四。 二、线性系统与非线性系统二、线性系统与非线性系统二、线性系统与非线性系统二、线性系统与非线性系统3页，共36页，星期四。黑匣子黑匣子输入（已知）输入（已知）输出（已知）输出（已知）图2-2 三、建立数学模型的方法：三、建立数学模型的方法：三、建立数学模型的方法：三、建立数学模型的方法： 分析法分析法 它是根据支配系统或元件内在运动规律的物它是根据支配系统或元件内在运动规律的物理定律（例如力学中的牛顿定律、电学中的基尔霍夫定律理定律（例如力学中的牛顿定律、电学中的基尔霍夫定律等），以及系统或元件的结构与参数
2、，推导出输入量和输等），以及系统或元件的结构与参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型。这种方法仅出量之间的数学表达式，从而建立数学模型。这种方法仅适用于简单的系统或元件。适用于简单的系统或元件。 实验法实验法 基于系统辨识的建模方法。它是利用系统的基于系统辨识的建模方法。它是利用系统的输入、输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统或输入、输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统或元件的基本特征一无所知的情况下，采用这种建模方法元件的基本特征一无所知的情况下，采用这种建模方法。4页，共36页，星期四。 一、建立系统微分方程式的一般步骤建立系统微分方程式的一般步骤建立系统
3、微分方程式的一般步骤建立系统微分方程式的一般步骤 用分析法建模的前提是对系统的作用原理和系统中各元用分析法建模的前提是对系统的作用原理和系统中各元用分析法建模的前提是对系统的作用原理和系统中各元用分析法建模的前提是对系统的作用原理和系统中各元件的物理属性有深入的了解。件的物理属性有深入的了解。件的物理属性有深入的了解。件的物理属性有深入的了解。2.1 系统的微分方程5页，共36页，星期四。（二）例题解析例题解析例题解析例题解析 例例2-12-1 设有由电感设有由电感L L、电容、电容C C和电阻和电阻R R组成的电路，如图所示。组成的电路，如图所示。试列写以输出电压试列写以输出电压U U2 2
4、为输出变量和以输入电压为输出变量和以输入电压 U U1 1为输入变量的为输入变量的运动方程。运动方程。6页，共36页，星期四。 例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 设有由两个形式相同的设有由两个形式相同的RCRC电路串联而成的滤波电路，电路串联而成的滤波电路，如图所示。试列写以输出电压为如图所示。试列写以输出电压为U2U2输出变量和以输入电压输出变量和以输入电压 U1U1为为输入变量的滤波电路的运动方程。输入变量的滤波电路的运动方程。解：列写两元件串联系统的运动方程时，必须考虑器件的负载效应，将前后列写两元件串联系统的运动方程时，必须考虑器件的负载效应，将前后相连的元件视为一个整体。根据基
5、尔霍夫定律有相连的元件视为一个整体。根据基尔霍夫定律有7页，共36页，星期四。8页，共36页，星期四。例例例例2-3 2-3 2-3 2-3 9页，共36页，星期四。例例例例2-4 2-4 2-4 2-4 10页，共36页，星期四。11页，共36页，星期四。 对系统元部件的特性、特别是静特性进行严格地考察，几对系统元部件的特性、特别是静特性进行严格地考察，几乎程度不同的都具有非线性关系。只是在很多情况下，其非线乎程度不同的都具有非线性关系。只是在很多情况下，其非线性因素较弱，近似将其看作线性特性。当系统或元件具有非线性因素较弱，近似将其看作线性特性。当系统或元件具有非线性特性时，则其动态数学模
6、型常为非线性微分方程，而非线性性特性时，则其动态数学模型常为非线性微分方程，而非线性微分方程的解析求解是异常困难的，且由于非线性特性类型不微分方程的解析求解是异常困难的，且由于非线性特性类型不同，没有通用的解析方法。同，没有通用的解析方法。 因此，在理论研究时总是力图将非线性问题在合理的情况因此，在理论研究时总是力图将非线性问题在合理的情况下简化处理成线性问题，即所谓的线性化。下简化处理成线性问题，即所谓的线性化。 “ “小偏差法小偏差法小偏差法小偏差法” ”（又称（又称“微偏法微偏法”）是常用的线性化方法之）是常用的线性化方法之一。一。三、非线性系统的线性化三、非线性系统的线性化三、非线性系
7、统的线性化三、非线性系统的线性化12页，共36页，星期四。13页，共36页，星期四。（一）基本概念（一）基本概念（一）基本概念（一）基本概念 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化将非线性微分方程在一定的条件将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法。下转化为线性微分方程的方法。 小偏差线性化小偏差线性化非线性微分方程能进行线性化的一个非线性微分方程能进行线性化的一个基本假基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小设是变量对于平衡工作点的偏离很小。 14页，共36页，星期四。（二）小偏差线性化的原理（二）小偏差线性化的原理（二）小偏差线性化的原理（二）小偏差线性化的原理 若系统变
8、量在平衡工作点处有导数或偏导数存在，则在平衡若系统变量在平衡工作点处有导数或偏导数存在，则在平衡工作点的微小邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶工作点的微小邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 可见，小偏差线性化的几何意义是在预期工作点邻域内用通可见，小偏差线性化的几何意义是在预期工作点邻域内用通过该点的过该点的切线切线近似代替原来的近似代替原来的曲线曲线。对于对于1个变量的非线性函数个变量的非线性函数对于对于2个变量的非线性函数个变量的非线性函数15页，共36页
9、，星期四。（三）（三）（三）（三）“ “小偏差法小偏差法小偏差法小偏差法” ”形象的图解描述形象的图解描述形象的图解描述形象的图解描述我们知道，铁芯线圈的电流与磁链的关系为非线性，如图我们知道，铁芯线圈的电流与磁链的关系为非线性，如图所示。如果工作过程中线圈的电流与磁链只在平衡工作点所示。如果工作过程中线圈的电流与磁链只在平衡工作点 附近附近作微小变化，那么我们以此铁芯线圈为例来说明作微小变化，那么我们以此铁芯线圈为例来说明“小偏差法小偏差法”的原理。的原理。16页，共36页，星期四。点击下图查看Flash动画17页，共36页，星期四。（四）（四）（四）（四） “ “小偏差法小偏差法小偏差法小
10、偏差法” ”的适用条件的适用条件的适用条件的适用条件 “小偏差法小偏差法”的数学基础是泰勒级数展开，然后忽略掉高阶的数学基础是泰勒级数展开，然后忽略掉高阶无穷小项及余项而得到线性化模型。无穷小项及余项而得到线性化模型。 （）系统正常工作时有一个工作点（）系统正常工作时有一个工作点(X0,Y0 )(X0,Y0 )，且在，且在(X0,Y0 )(X0,Y0 )附近小范围调节。附近小范围调节。（）非线性函数在工作点（）非线性函数在工作点(X0,Y0 )(X0,Y0 )处各阶导数存在（即是一处各阶导数存在（即是一个光滑的曲线）。个光滑的曲线）。 18页，共36页，星期四。例：一系统的数学模型为例：一系统
11、的数学模型为。求当。求当x在在10附近时的线附近时的线性化方程，并求将此线性化方程用于性化方程，并求将此线性化方程用于x11时的误差。时的误差。19页，共36页，星期四。 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、一、一、一、 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义 若若 将将 时时 间间 域域 函函 数数 f(t)f(t)， 乘乘 以以 指指 数数 函函 数数 e e-st-st（ 其其 中中s=+js=+j， 是是一一个个复复数数）， 再再在在0 0( (本本书书如如无无特特指指， 均指均指+)+)之间对之间对t t进行积分，进行积分， 就得到一个新的复频域函数就得到一个新的复频域函数
12、F(s)F(s)。 F(s)F(s)称称为为f(t)f(t)的的拉拉氏氏变变换换式式， 并并可可用用符符号号 L L f(t)f(t)表示。表示。 附录附录20页，共36页，星期四。设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：的拉氏变换存在，其表达式记作：21页，共36页，星期四。【例例1 1】 求单位阶跃函数（求单位阶跃函数（Unit Step FunctionUnit Step Function）1(1(t t) )的象函数。的象函数。 解解: : 在在自自动动控控制制系系统统中中， 单单位
13、位阶阶跃跃函函数数是是一一个个突突加加作作用用信信号号， 相相当当于一个开关的闭合（或断开），于一个开关的闭合（或断开）， 单位阶跃函数的定义式为单位阶跃函数的定义式为图图 2 - 7 2 - 7 单位阶跃函数单位阶跃函数22页，共36页，星期四。由拉氏变换的定义得由拉氏变换的定义得1(1(t t) )的象函数为的象函数为(2 - 24)单位阶跃函数如图单位阶跃函数如图 2 - 72 - 7所示。所示。23页，共36页，星期四。【例例2 2】 求斜坡函数（求斜坡函数（Ramp FunctionRamp Function）的象函数。）的象函数。 斜坡函数的定义式为斜坡函数的定义式为式中，式中，
14、K K为常数。为常数。24页，共36页，星期四。解解: : 在在自自动动控控制制系系统统中中， 斜斜坡坡函函数数是是一一个个对对时时间间作作均均匀匀变变化化的的信信号号。 在在研研究究跟跟随随系系统统时时， 常常以以斜斜坡坡信信号号作作为为典典型型的的输输入入信信号号。 同理，同理， 根据拉氏变换的定义式有根据拉氏变换的定义式有(2 - 25) 这里应用了积分学中的分部积分法，即这里应用了积分学中的分部积分法，即 若式（若式（ 2 - 252 - 25）中）中K=1K=1， 则单位斜坡函数的象函数为则单位斜坡函数的象函数为25页，共36页，星期四。【例例3 3】 求指数函数（求指数函数（Exp
15、onential FunctionExponential Function）e e- -tt的象函数。的象函数。 解：解：(2 - 26) 26页，共36页，星期四。部分拉氏变换表部分拉氏变换表.27页，共36页，星期四。在在应应用用拉拉氏氏变变换换时时， 常常需需要要借借助助于于拉拉氏氏变变换换运运算算定定理理， 这这些些运运算算定定理理都都可可以以通通过过拉拉氏氏变变换换定定义义式式加加以以证明。证明。 下面介绍几个常用定理。下面介绍几个常用定理。1) 1) 1) 1) 叠加定理叠加定理叠加定理叠加定理 两两个个函函数数代代数数和和的的拉拉氏氏变变换换等等于于两两个个函函数数拉拉氏氏变换的
16、代数和。变换的代数和。 即即二、二、二、二、 拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的运算定理运算定理运算定理运算定理28页，共36页，星期四。证证 明：明：29页，共36页，星期四。2) 2) 2) 2) 比例定理比例定理比例定理比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。倍。即即 L Kf(t)=K L f(t)证证明：明：30页，共36页，星期四。3) 3) 3) 3) 微分定理微分定理微分定理微分定理 L f(t)=sF(s)-f(0) 及在零初始条件下，及在零初始条件下，L f(n)(t)=snF(s)31页，共36页，星期四。证明：证明： 32页，共36页，星期四。当初始条件当初始条件f(0)=0时，时， 有有 Lf(t)=sF(s) 同理，同理， 可求得可求得Lf(t)=s2F(s)-sf(0)-f(0) Lf(n)(t)=snF(s)-sn1f(0)-f(n-1)(0)若具有零初始条件若具有零初始条件， 即即f(0)=f(0)=f(n-1)(0)=0则则 Lf(t)=s2F(s) Lf(n)(t)=snF(s)33页，共
