数学破题36个大招

《数学破题36个大招》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学破题36个大招（200页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、精品资料群：606293687；公众号：学习界的 0071数学破题数学破题 3636 个大招个大招目目 录录高考数学常考问题高考数学常考问题- -大闯关（大闯关（3636 关）关）.错误！未定义书签。错误！未定义书签。目目 录录.1第第 1 1 关：关： 极值点偏移问题极值点偏移问题-对数不等式法对数不等式法.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第第 2 2 关：关： 参数范围问题参数范围问题常见解题常见解题 6 6 法法. 6第第 3 3 关：关： 数列求和问题数列求和问题解题策略解题策略 8 8 法法. 8第第 4 4 关：关： 绝对值不等式解法问题绝对值不等式解法问题7 7 大类型大类型

2、. 12第第 5 5 关：关： 三角函数最值问题三角函数最值问题解题解题 9 9 法法. 19第第 6 6 关：关： 求轨迹方程问题求轨迹方程问题6 6 大常用方法大常用方法. 23第第 7 7 关：关： 参数方程与极坐标问题参数方程与极坐标问题“考点考点”面面看面面看.35第第 8 关：关： 均值不等式问题均值不等式问题拼凑拼凑 8 法法.40第第 9 9 关：关： 不等式恒成立问题不等式恒成立问题8 8 种解法探析种解法探析. 46第第 1010 关：关： 圆锥曲线最值问题圆锥曲线最值问题5 5 大方面大方面. 51第第 1111 关：关： 排列组合应用问题排列组合应用问题解题解题 212

3、1 法法. 54第第 1212 关：关： 几何概型问题几何概型问题5 5 类重要题型类重要题型. 60第第 1313 关：关： 直线中的对称问题直线中的对称问题4 4 类对称题型类对称题型.63第第 1414 关：关： 利用导数证明不等式问题利用导数证明不等式问题4 4 大解题技巧大解题技巧.65第第 1515 关：关： 函数中易混问题函数中易混问题1111 对对.70第第 1616 关：关： 三项展开式问题三项展开式问题破解破解“四法四法”. 75第第 1717 关：关： 由递推关系求数列通项问题由递推关系求数列通项问题“不动点不动点”法法.76第第 1818 关：关： 类比推理问题类比推理

4、问题高考命题新亮点高考命题新亮点. 79第第 1919 关：关： 函数定义域问题函数定义域问题知识大盘点知识大盘点. 85第第 2020 关：关： 求函数值域问题求函数值域问题7 7 类题型类题型 1616 种方法种方法.91第第 2121 关：关： 求函数解析式问题求函数解析式问题7 7 种求法种求法.111第第 2222 关：解答立体几何问题关：解答立体几何问题5 5 大数学思想方法大数学思想方法.114第第 2323 关：关： 数列通项公式数列通项公式常见常见 9 9 种求法种求法.119第第 2424 关：导数应用问题关：导数应用问题9 9 种错解剖析种错解剖析. 130第第 2525

5、 关：三角函数与平面向量综合问题关：三角函数与平面向量综合问题6 6 种类型种类型.133第第 2626 关：概率题错解分类剖析关：概率题错解分类剖析7 7 大类型大类型. 139第第 2727 关：抽象函数问题关：抽象函数问题分类解析分类解析. 142第第 2828 关：三次函数专题关：三次函数专题全解全析全解全析. 145第第 2929 关：二次函数在闭区间上的最值问题关：二次函数在闭区间上的最值问题大盘点大盘点.155第第 3030 关：解析几何与向量综合问题关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描知识点大扫描.164第第 3131 关：平面向量与三角形四心知识的交汇关：平面向量与三角形四

6、心知识的交汇.165第第 3232 关：数学解题的关：数学解题的“灵魂变奏曲灵魂变奏曲”转化思想转化思想.169第第 3333 关：函数零点问题关：函数零点问题求解策略求解策略. 180第第 3434 关：求离心率取值范围关：求离心率取值范围常见常见 6 6 法法. 183第第 3535 关：高考数学选择题关：高考数学选择题解题策略解题策略. 186第第 3636 关：高考数学填空题关：高考数学填空题解题策略解题策略. 195精品资料群：606293687；公众号：学习界的 0072以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题题目目 1： （2015 长春四模题）已知函数

7、有两个零点，则下列说法错误的是A.B.C.D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A 正确.精品资料群：606293687；公众号：学习界的 0073有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而，B 正确，C 错误而+得：，即 D 成立.题目题目 2： （2011 辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】 原题目有 3 问， 其中第二问为第三问的解答提供帮助， 现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，-得：，化简得：而根据对数平均值不等式：等式代换到上述不等式根据：（由得出）式变为：精品资料群：606293687；公众号

8、：学习界的 0074，在函数单减区间中，即：题目题目 3：(2010 天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】 原题目有 3 问， 其中第二问为第三问的解答提供帮助， 现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得：根据对数平均值不等式题目题目 4：（2014 江苏南通市二模） 设函数， 其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即：精品资料群：606293687；公众号：学习界的 0075根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减精品资料群：606293687；公众号：学习界的 0076由题于与交于不同两点，

9、易得出则上式简化为:第第 2 2 关：关： 参数范围问题参数范围问题常见解题常见解题 6 6 法法求解参数的取值范围是一类常见题型近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法一、确定一、确定“主元主元”思想思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例例 1.1.对于满足 0的一切实数，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围分析分析： 习惯上把 x 当作自变量， 记函数 y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p时 y0 恒成立， 求 x 的范

10、围 解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即 p视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题解解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意由题设知当 0时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k) f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)g(k)f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（

11、0，1）上为减函数，当 t=1 时，。七七 数形结合数形结合由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例例 9 求函数的最小值。精品资料群：606293687；公众号：学习界的 00722 分析分析 法一：将表达式改写成y 可看成连接两点 A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图） ，所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则可求得所以 y 的最小值为（此时）.法二

12、：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。八八 判别式法判别式法例例 10 求函数的最值。 分析分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由 y=3，tanx=-1，由九九 分类讨论法分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例例 11 设，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).精品资料群：606293687；公众号：学习界的 00723解：令 sinx=t,则（1）当，即在0，1上递增，（2）当即时，在0，1上先增后减，（3）当即在0，1上递减，以上几种方法中又以配方法和辅助角法及

13、利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。第第 6 6 关：关： 求轨迹方程问题求轨迹方程问题6 6 大常用方法大常用方法知识梳理知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：（一）求轨迹方程的一般方法：1.1. 待定系数法待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2.2. 直译法直译法： 如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断， 但点 P 满足的等量关系易于建立，

14、则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3. 参数法：参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4.4. 代入法（相关点法代入法（相关点法） ：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的

15、坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5.5.几何法几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等） ，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6 6：交轨法交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。精品资料群：606293687；公众号：学习界的 00724（二）求轨迹方程的注意事项：（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现

16、动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， （即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上） ，又要检验是否丢解。 （即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1. P 是椭圆=1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）A、B、C、D、=1【答案答案】 ：B【解答】【解答】:令中点坐标为,则点 P 的坐标为(代入椭圆方程得,选 B2. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）ABCD【答案答案】 ：D【解答【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选 D3 3: 一动圆与圆 O：外切，而与圆 C：内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案答案】 ：D【