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1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 公众号 逻辑数学精品课 深度拔高系列之 导数 2020/09/16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 导数深度拔高系列讲义 第 1 篇：导数压轴之证明不等式 作者：山东济南徐伟 微信：luoji-math 目录 考点一：放缩 . 3 题型 1：前问放缩 . 3 题型 1.1：待证不等式由已证（知）
2、不等式累加累乘得出 . 3 题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出 . 5 题型 1.3：已证（知）不等式混入待证不等式 . 9 题型 2. 切线放缩（函数不等式放缩）+构造函数 . 12 题型 3：三角函数有界性放缩+端点验证 . 14 题型 4.裂项放缩 . 16 题型 5：参数放缩 . 18 考点二：极值点偏移+单调性放缩 . 19 考点三：隐零点替换+同构 . 26 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 考点一：放缩 首先，放缩的意义. 在不
3、等式的证明过程中，由于待证式的结构过于复杂，使不等式的证明难以进行，此时通过放缩让待证不等式的结构变得简单、易于化简. 题型 1：前问放缩 总述：当待证不等式与前问已证（知）不等式之间存在关联时，我们往往可以借助前问结论证明待证不等式，根据待证不等式与前问不等式之间的不同关联，我们的解题突破口也有所不同，基于此我们将此类放缩分为以下 3 种题型，分别为： 题型 1.1：待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出；题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出；题型 1.3：已证（知）不等式混入待证不等式.放缩的总策略是：以相似（同）为突破，无相似（同）就趋同.下面再通过例题，分别对三种题
4、型的处理策略进行具体说明. 题型 1.1：待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出 【技能储备】 题型特点： 待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出 处理策略：以相似（同）为突破，无相同就趋同 以待证不等式和已证（知）不等式的结构关联为突破结构关联为突破，将待证不等式化整为零分为若干部分，要求每一部分都要向已证不等式趋同转化，然后借助已证（知）不等式，逐个放缩，最后通过累加累乘整合出证明结果. 说明： 下文例 1 是待证不等式由已证（知）不等式累乘得出 下文例 2 是待证不等式由已证（知）不等式累加得出 【以三角函数为载体的相关例题】 例例 1.（2020 全国理 21）已知函数( )2si
5、nsin2f xxx= （1）讨论( )f x在区间()0,的单调性； （2）证明：( )3 38f x ； （3）设*nN，证明：22223sinsin 2 sin 4sin 24nnnxxxx L 解析 (1)由函数的解析式可得：( )32sincosf xxx=，则： 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 ( )()2242 3sincossinfxxxx=()2222sin3cossinxxx= ()222sin4cos1xx=()()22sin2cos1
6、2cos1xxx=+， ( )0fx =在()0,x上的根为：122,33xx=， 当0,3x时，( )( )0,fxf x单调递增； 当2,33x时，( )( )0,fxf x单调递减； 当2,3x时，( )( )0,fxf x单调递增 (2)注意到()()()( )22sinsin 2sinsin2f xxxxxf x+=+=， 故函数( )f x是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：( )( )00ff=， 2333 33228f=，22333 33228f= = ， 据此可得：( )max3 38f x=，( )min3 38f x= ，即( )3 38f x (3)分析： 前问
7、已证不等式为：23 3|sinsin2 |8xx 待证不等式：22223sinsin 2 sin 4sin 24nnnxxxx 观察结构不难联想，待证不等式是由已证不等式累乘变形得出，于是将待证不等式化整为零，并向已证不等式趋同转化（期间用到了添项、凑项） ，具体操作如下： 2222sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 22222123sin(sinsin2 ) (sin 2 sin4 ) (sin 4 sin8 )(sin 2sin2) sin 2nnnxxxxxxxxxx= 2323 33 33 3sinsin 2888nxxL233 38n34n= 例例 2.已知函数sin(
8、1)ln ,axx+其中.aR （1）若函数( )f x在区间(0,1)上递增，求a的取值范围； （2）证明：211sinln3ln2.(2)nkk=+ 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 解析 （1）答案：1a ；解析：略 （2）分析： 前问已证不等式为：1a 时，( )f x在区间(0,1)上递增 ( )sin(1)ln(1)0f xxxf=+= 1sin(1)lnlnxxx = 待证不等式：2113sinln3ln2ln(2)2nkk=+ 前问已证不等式为与
9、待证不等式均为正弦函数与对数函数的不等关系， 并且观察结构不难猜出，待证不等式是由已证不等式变量换元后，变量换元后，累累加加得出，于是将待证不等式化整为零，并向已证不等式趋同转化，趋同先趋同变量，具体操作如下： 令2112xn=+，化简得221(1)(3)1(2)(2)nnxnn+= =+ 所以221(2)sinln(2)(1)(3)nnnn+ 所以：222222221111345(2)sinsinsinsinln()(2 1)(22)(23)(2)2 43 54 6( +1)3)nnnn+（ 222211113 23sinsinsinsinln()lnln3ln2(2 1)(22)(23)(
10、2)232nnn+=+ 题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出 【技能储备】 1.题型特点： 待证不等式由已证（知）不等式进行变量换元得出 2.处理策略：以相似（同）为突破，无相似（同）就趋同 以待证不等式和已证（知）不等式的变量关联为突破变量关联为突破（变量趋同是结构趋同的先决条件） 究竟如何突破变量之间的关联？ 可以从以下两个角度进行尝试 角度 1：当待证不等式与已证（知）不等式结构差异较小结构差异较小，或者说仅存在变量上的差异时，直接将已证不等式中的变量换元成待证不等式中的变量，得出新的不等关系，辅助证明待证不等式.详情见上文例 2: “令2112xn=+” 角度 2：当
11、待证不等式与已证（知）不等式结构差异较大结构差异较大时（原因可能是由于在变量换元时附关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 带了某种运算化简）此时往往以前后两不等式成立时的自变量的范围为突破，整合待证不等式的某一部分t，使得t的范围与已证不等式成立时的变量范围一致（或为其子集），进而将t视为待证不等式中新的变量.然后进行如下操作： Step1.从变量趋同推部分的结构趋同 将t与前问不等式中的变量进行对照，然后化简，使二者所处位置的结构一致 Step2.从部分结构趋同到
12、整体结构趋同 将前后趋同的两部分结构剔除，然后化简，使得剩余部分的结构产生关联或一致，详情见下文例 3. 【以三角函数为载体的相关例题】 例例 3.（2019 天津理 20）设函数( )e cos ,( )xf xxg x=为( )f x的导函数. （）求( )f x的单调区间； （）当 ,4 2x时，证明( )( )02f xg xx+； （）设nx为函数( )( ) 1u xf x=在区间(2,2)42nn+内的零点，其中nN，证明20022sinceosnnnxxx+. 解析 （）由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为的单调递减区间
13、为. （）记.依题意及（） ，有，从而. 当时，故. ( )e (cossin )xfxxx=52,244xkk+()k Zsincosxx( )0fx ( )f x32,244xkk+()k Zsincosxx( )0fx ( )f x( )f x32,2(),( )44kkkf x+Z52,2()44kkk+Z( )( )( )2h xf xg xx=+( )e (cossin )xg xxx=( )2e sinxg xx= ,4 2x( )0gx ( )( )( )( )( 1)( )022h xfxg xxg xg xx=+=关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！
14、逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. （）分析 前问已证不等式为：由（）知，当 ,4 2x时：( )( )()02f xg xx+， 待证不等式：20022sincosnnenxxx+ 待证不等式与已证不等式均是与三角函数与指数函数相关的不等式，猜测此题可以进行前问放前问放缩缩，只是目前两者结构存在较大差异（排除题型 2 角度 1），且没有明显的累加累乘关联（排除题型 1），（猜测题型 2 角度 2）于是先变量趋同（变量趋同是结构趋同的先决条件），对比前后不等式成立的变量的范围
15、， 前问已证不等式成立时的自变量范围： ,4 2x， 当前待证不等式成立时的自变量范围：(2,2)42nxnn+ 对比前后不等式成立时的自变量范围再结合待证不等式的结构，不难发现将2nxn整体视为待证不等式中新的变量，记为ny（,4 2ny ） ，就能保证待证不等式与已证（知）不等式中的自变量范围一致，同时将待证不等式中的变量统一换成ny的形式，改变待证不等式原有的结构，进一步寻求待证不等式与已证（知）不等式结构上的关联，最终实现结构趋同.具体操作见下文 记，则，于是待证不等式转化为：0020202sinc22sincososnnnnenxxxeyxx+ 此时再对照已证不等式：( )( )()
16、02f xg xx+ 此时，待证不等式与已证（知）不等式中的相同结构为2ny，于是以此部分结构为突破化简，将已证不等式向待证不等式趋同（没错，趋同是双向的） ： ( )( ( )0)2( )f xxg xg x 此时将nxy=代入式得：()2()nnnf yyg y ( )h x,4 2 ( )022h xhf=,4 2x ( )( )02f xg xx+2nnyxn=,4 2ny 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 再对照式与式，不难发现若2()nnf ye或00()sincosng yxx不等式即得证. 下面分别验证： 22cos()(2)cos(2)nnxxnnnnnnexf yf xnexne= 又因为：nx为函数( )( ) 1u xf x=的零点，所以()cos1nxnnf xex= 代入式得：2()nnf ye= 下面验证00()sincosng yxx 由（）知，当时，所以在上为减函数，因此0()(),ng yg y于是000000()()
