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1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 公众号 逻辑数学精品课 深度拔高系列之 导数 2020/09/16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 导数-深度拔高系列讲义 第 2 篇：导数找点手册 作者：山东济南徐伟 微信：luoji-math 目录 一、综述：对“找点”的初步认识 . 3 二、找点策略一：放缩取点 . 3 Step1.预判
2、. 3 预判：猜根 . 3 预判：预判零点所在区间 . 4 Step2.取点 . 5 方式一：猜根（带点验证） . 5 方式二：放缩取点 . 6 三、找点策略二：分离参数函数、数形结合转化为函数交点问题 . 13 四、拓展：以三角函数为载体的零点问题 . 16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 一、“找点”综述：对“找点”的初步认识 Q1：找的点须满足什么特征？ 特征：点0 x在限定区间内 特征：点0 x使得不等式( )0f x 或( )0f x 成立 综述：
3、结合 1、 2 不难发现， 找点的过程其实就是求不等式( )0f x 或( )0f x 解集的过程，只不过，实际问题中的找点只是一个存在性问题，即能找出一个0 x或一些0 x使不等式成立即可. Q2：什么时候用到找点？ 情境：结合零点存在定理讨论证明目标函数的零点情况 情境：以零点情况为限制条件求解参数的范围 情境：含参函数恒成立问题中求解参数范围（常见“端点效应，找矛盾区间” ） 情境：其他 二、找点策略一：放缩取点 通过下面这道例题来系统讲述放缩取点 【典例典例 1 1】 （2016.全国 1 卷.理 21）已知函数2( )(2)e(1)xf xxa x=+有两个零点 （）求a的取值范围；
4、 （）略 S Steptep1. 1.预判预判 （预判的意义在于：1.减少不必要的计算；2.明确零点分布，为下文取点作心理准备） 预判：猜根 虽然我们无法直接解出一个超越方程的零点，但是对于多数问题，往往有一种相对“流氓”也非常便捷的方式快速找出零点猜根，常见猜根有：11, 2,0, , ee 等 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 预判：预判零点所在区间 预判零点所在区间，一般需要考虑三方面 方面 1：函数的单调性获取方式：求导 方面 2：函数的最值及在区间端点
5、处的极限 方面 3：题干中的待证零点个数+解题过程中已证零点情况. 说明： 1.在预判零点所在区间时，要尽量做到精准，尽量缩小区间长度. 2.经过预判，通常要将零点所在的区间进行划分，同时将不存在零点的区间排除，以降低接下来的零点讨论难度.在论证函数在某个区间不存在零点时主要有两条思路: 思路 1：结合函数单调性表示出函数在该区间的最值，说明最大值小于 0 或最小值大于 0，过程中有时还需要构造关于最值的函数进行说明，正所谓证有取点，证无验最值.详见例 11 思路 2：对函数进行放缩，使得函数形式简单，证明放缩后的函数恒大于 0 或恒小于 0.详见例 8 【附：函数极限相关理论】 1.函数极限
6、的运算法则 如果BxgAxfooxxxx=)(lim,)(lim，那么： lim ( )( )oxxf xg xAB=，lim ( )( )oxxf xg xA B=，)0()()(lim=BBAxgxfoxx 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为 0）. 说明： 当C是常数，n是正整数时，)(lim)(limxfCxCfooxxxx=，nxxnxxxfxfoo)(lim)(lim= 这些法则对于x的情况仍然适用. 2.常见函数的增长速度 lnln:0:xRRxxexxxVVVxVV+
7、 +； 基于理论 1 和理论 2 我们便可处理高中阶段多数函数的极限 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 本题实战本题实战- - S Steptep1.1.预判预判 ( )(1)(e2 )xfxxa=+ 若 0a ，当1,( )0,( )xfxf x，当min1,( )0,( ) ,( )(1)e0 xfxf xf xf = 又当1x 时，在已知 0a 的前提下，对于2( )(2)e(1)xf xxa x=+，lim( )xf x= + 当1x 时，在已知 0a
8、的前提下，对于2( )(2)e(1)xf xxa x=+，lim( )xf x+= +,所以预 判 在 区 间(,1)和(1,)+上 是 存 在12xx、使 得12()0()0f xf x、的 . 而 且12,xx +时，不等式更易成立，于是不妨限定10 x ，20 x 写到这里可能有读者会说，利用极限这不就找到点了吗，问题不就解决了吗? 这里需要说明的是：极限相关内容我们在高中并未涉及，高考时用到或写极限是要扣分的.同时上述过程也不必出现在试卷上，这个过程只是让我们在【放缩取点】前心里有数，提示我们别一开始就放缩，如果压根没有呢？那放缩的意义何在. S Steptep2. 2.取点取点 由
9、Step1.预判 易知，当 0a 时，若函数存在两个零点，则两零点分布必为12(,1),(1,)xx +，下面通过【零点存在定理】严谨说明严谨说明在区间(,1)和(1,)+上存在零点.由于已知min( )(1)e0f xf= ，所以只需在区间(,1)和(1,)+上找两点找两点12xx、使得12()0()0f xf x、即可. 方式一：猜根（带点验证） 虽然我们无法直接解出一个超越不等式的解集， 但是我们可以带点验证之， 此处的带点方式没有固定的规律可言，需结合目标不等式的结构特征验证. 本题实战本题实战- -stepstep2 2：猜：猜根根 当1x 时，在已知 0a 的前提下，对于2( )(
10、2)e(1)xf xxa x=+，2(2)(1)0fa x=又min( )(1)e0f xf= ，于是根据零点存在定理可知，0(1,2)x使得0()0f x= 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 方式二： 【放缩取点】 准备：在介绍【放缩取点】之前，我们需要先搞明白“为什么要放缩为什么要放缩? ?”. 为了将一个难解不等式变得好解. 本文一开始我们就说过：找点的过程其实就是求不等式( )0f x 或( )0f x 解集的过程，而在实际问题中， 我们面临的往往是一个
11、无法直接求解集的超越不等式， 为了让这样一个超越不等式变得好解，我们一般通过放缩的手段，让超越不等式改头换面，变得好看、好解好看、好解. . 例如:这道题中， 我们要说明1( )0f x， 由于( )f x结构过于复杂， 于是我们可以将( )f x缩小成结构简单的( )g x，通过说明1()0g x，再结合( )( )f xg x说明11()()0f xg x. 【放缩取点的具体流程】 1.放缩的原则 在预判区间上放缩前后的两个函数足够接近（越接近越好） 放缩后的不等式好看、好算. 放缩后所取的点在预判区间内 2.明确放缩目标（即放缩谁？） 基于原则，为了保证放缩前后的两个函数足够接近，我们选
12、择在预判区间极限处，对“目“目标正负”标正负”影响不大影响不大的那一项放缩（换言之，主导目标正负的那一项坚决不动）. 例如:这道题中，在已知 0a 的前提下，要在(,0)上找一个1x，使得函数2( )(2)e(1)xf xxa x=+大于零.注意到当0 x 时，2lim(2)e0, lim(1)xxxxa x= +， 所即(2)xxe这一项在限定区间内对“目标正负目标正负”( )0f x 影响不大，于是首选(2)xxe这一项为放缩目标. 若这道题中两项的极限都趋近于正无穷， 就选择放缩趋近速度较慢的那一项， 因为较慢的项相比较快的项对函数的正负影响较弱. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号
13、内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 3.放缩方式（即怎么放缩？） 方式一方式一：添项或减项放缩：添项或减项放缩 方式二：常数放缩方式二：常数放缩- -即将限定区间内的x值带入到目标式中的某一项，进而将该项转变为常数，以实现简化复杂项结构的目的.这个过程往往需要结合被替换项的单调性. 方式三：常见不等式放缩方式三：常见不等式放缩 说明： 以上三种放缩方式都有一个终极目的满足放缩三原则： 在预判区间上放缩前后的两个函数足够接近（越接近越好） ；放缩后的不等式好看、好算；放缩后所取的点在预判区间内；基于原则
14、，我们通常还可以直接通过换元、取对数、取指数换元、取对数、取指数等改变原函数结构，以实现让原函数变得好看、好算的目的. 【常用放缩公式常用放缩公式】 第一组：对数放缩第一组：对数放缩 放缩成一次函数：放缩成一次函数： ln1xx，ln xx，ln(1)xx+，1ln xxxe，ln2xex 放缩成双撇函数：放缩成双撇函数： ()11ln12xxxx，()11ln012xxxx， ()1ln1xxxx，()1ln01xxxx， 放缩成二次函数：放缩成二次函数： 2ln xxx，()()21ln 1102xxxx+ ，()()21ln 102xxxx+ 放缩成类反比例函数：放缩成类反比例函数： 1
15、ln1xx ，()()21ln11xxxx+，()()21ln011xxxx+， ()ln 11xxx+，()()2ln 101xxxx+，()()2ln 101xxxx+ 说明：第种放缩方式是考试时最常见的放缩放缩，需要着重掌握 第二组：指数放缩第二组：指数放缩 放缩成一次函数：放缩成一次函数： 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 1xex+，xex，xeex， 放缩成类反比例函数：放缩成类反比例函数： ()101xexx，()10 xexx ， 放缩成二次函数
16、：放缩成二次函数： ()21102xexxx +，2311126xexxx + 说明：第种放缩方式是考试时最常见的放缩放缩，需要着重掌握 第三组：指对放缩第三组：指对放缩 () ()ln112xexxx+= 第四组：三角函数放缩第四组：三角函数放缩 ()sintan0 xxx x，21sin2xxx，22111cos1sin22xxx . 通过上述诸多公式， 大家应该可以感受到放缩的方式千变万化， 实际操作中究竟选择哪个公式进行放缩，还是要遵循放缩三原则. 例如:这道题中，在已知 0a 的前提下，要在(,0)上找一个1x，使得函数2( )(2)e(1)xf xxa x=+大于零.经前文介绍，我们需要放缩(2)xxe这一项，而且需要将其缩小: 因为0 x 时1xe ，所以22( )(2)(1)(2)(1)xf xxea xxa x=+ 此时令2(2)(1)0 xa x+=，x不易表示，于是继续放缩： 222( )(2)(1)(2)(1)2(1)(1)xf xxea xxa xxa x=+ 此时令22(1)(1)0 xa x+=，解得2xa= ，于是1x找到.（此为常数放缩） 本题实战本题
