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1、微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 圆锥曲线二级结论深度易记讲义 第 1 篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦 总编：山东济南徐伟 微信：luoji-math 一、焦半径夹角式 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F, 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,2 1.在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减）微信公众号：逻辑数学精品课 2.在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加减） 证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义： 圆锥曲线第二定义： 平面内的动点( , )P x y到一个定点F的距离与到不通
2、过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数(0),e e 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当01e时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e 时，轨迹为双曲线。 在标准方程下第二定义中的各要素对应表 注：1.和坐标轴平行的虚直线为准线;2.教材中抛物线的准线与焦点就对应第二定义中的准线与焦点. 微信公众号：逻辑数学精品课 标准方程 图像 焦点坐标 准线方程 微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 22221(0)xyabab+= (,0)c 2axc= 22221(0)yxaba
3、b+= (0,)c 2ayc= 22221(0,0)xyabab= (,0)c 2axc= 22221(0,0)yxabab= (0,)c 2ayc= 微信公众号：逻辑数学精品课 结论证明： 如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论2cosbAFac=（弦的长短决定加减）进行证明： xyOF1F2xyOF1F2xyOF1F2xyF1F2微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 微信公众号：逻辑数学精品课 如图，过椭圆上任意一点A作准线2axc= 的垂线，设垂足为M,连接AF并延长交椭圆于另一点B,设AFx=，过F作AM的垂线，垂
4、足设为N 设AF=,则222cos ,()FaabANMNxcccc= = += 因此2cosbAMANNMc=+=+ 由第二定义知：2cosceebAMac=+ 化简得：22cos1cosbbaAFcaca=,证毕. 到这里很多读者朋友会问：2cosbac+这个结论对应哪个焦半径？ 答案是:2cosbBFac=+ 如何记忆？ 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2 一个对应两个焦半径AFBF、 怎么区分？ 弦的长短决定加减 怎么证明2cosbBFac=+？微信公众号：逻辑数学精品课 仿照证明2cosbAFac=自行证明. xy准线：x=a2c准线：x=-a2cNMBOFA微信公
5、众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 二、推论 1.弦长公式 在椭圆和双曲线中：22222cosabABac= 在抛物线中：22sinpAB=微信公众号：逻辑数学精品课 记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文夹角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2 2. .焦半径混合运算焦半径混合运算 在椭圆和双曲线中：2112aAFBFb+= 在抛物线中：22112,sinpAF BFAFBFp+= 记忆提示：这两组公式也无须背诵，将上文夹角式中的一加一减两个公式取倒数，同分母相加即可，总之以上推论
6、花里胡哨，都不要背诵，大家只需记住： 1.在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加减） 这两个核心公式即可，是不是大大降低了记忆难度，反观市面上的参考资料都是直接让我们背推论，殊不知，没有这两组核心公式的铺垫，各个推论是孤立存在的，而且不易推导，记忆起来当然难度很大. 三、焦半径超级结论微信公众号：逻辑数学精品课 如果大家赶紧上面夹角式两个公式还是过于繁琐，非得想要用一个公式，表示所有圆锥曲线的焦半径，那么下面这个公式将会很适合你. 1.焦半径公式：1cosepe=（弦的长短决定加减） 2.焦点弦长公式：2221cosepAB
7、e=（弦的长短决定加减） 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，所以22sinpAB= 微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. p焦准距（焦点到准线的距离），椭圆与双曲线的准线方程为2ac，所以22|,abpccc=抛物线中p即为公式中的p 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,2微信公众号：逻辑数学精品课 特别说明：夹角相关所有公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时22222cosabABca=或222cos1epABe= 关于四这部分也不建议大家记忆，花里胡哨的 四、一个重要推论（考点
8、） 由本文三、四可知，圆锥曲线焦点弦长公式与离心率有关，下面探究离心率、倾斜角及点分线段的比例关系： 1cos1e=+ 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =， 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2 焦点把弦分成两部分，1=长短 特别说明：此公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时1cos1e+= 由此结论，我们可以知道，对于离心率e、倾斜角、焦半径比，知道其中任意两个量，都可以求其他一个量，出题人也常以此原理出题. 证明： 以椭圆和双曲线为例，如图，由三知：微信公众号：逻辑数学精品课 xyBOF1F2A微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品
9、，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 2211,coscosbbAFBFacac=+, 则11cos1coscos1cosAFaceBFace+= 化简得：1cos1e=+ 五、焦半径坐标式 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F 1.在椭圆和双曲线中： 0|AFaex=（焦点在x轴上）微信公众号：逻辑数学精品课 0|AFaey=（焦点在y轴上） 注：绝对值内具体是加还是减，要结合焦半径的长短及坐标正负来判断 结论证明: 如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论0|AFaex=（焦点在x轴上）进行证明： 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦
10、点为F 则由第二定义得2100|aAFe xaexc=+=+，2200|aAFexaexc= 2.在抛物线中 0|2pAFx=+（焦点在x轴上） 0|2pAFy=+（焦点在y轴上） xy准线：x=a2c准线：x=-a2cMOF1F2A微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 证明提示：定义 微信公众号：逻辑数学精品课 配套练习 例 1.(2017 全国卷) 已知F为抛物线2:4C yx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12, ,l l直线1l与C交于AB、两点，直线2l与C交于DE、两点，则|ABDE+的最小值为（ ） .16A .14B .
11、12C .10D 解法一：常规解法 设AB倾斜角为作1AK垂直准线，2AK垂直x轴， 易知11cos22+= =AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性），cosAFPAF+=， 同理1cosPAF=，1cosPBF=+，22221cossinPPAB=， 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为2+， 2222cossin2PPDE=+，而24yx=，即2P =微信公众号：逻辑数学精品课 22112sincosABDEP+=+2222sincos4sincos+=224sincos=241sin 24= 21616sin 2=，当且仅当4=取等号，即ABDE+最小值为16，故选A；
12、解法二：结论解法 依题意知：22sinPAB=，2222cossin2PPDE=， 由柯西不等式知： 2222211(1 1)22816sincossincosABDEPPP+=+=+，当且仅当4=取等号，故选A；微信公众号：逻辑数学精品课 例 2.(2019 年全国 I 卷理 10/全国 I 卷文 12) 微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 已知椭圆C的左右焦点为1( 1,0)F ，2(1,0)F，过点2F的直线与C交于,A B两点，若222AFF B=，1ABFB=，则C的方程为（ ） 22.12xAy+= 22.132xyB+=
13、22.143xyC+= 22.154xyD+= 解析： 如图，设2222AFF Bx=，则13ABFBx=，由定义知：12124BFBFAFAFx+=+=微信公众号：逻辑数学精品课 解得12AFx=，所以122AFAFx=,点A与短轴端点重合，于是21coscAF Fea= 由五结论知：211cos13ee=+ 所以222221,3,2cabac= 所以选B 例 3. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为3,2过右焦点F且斜率为(0)k k 的直线与C相交于,A B两点，若3AFFB=，则_.k = 解析：将数据代入结论1cos1e=+得： 33 11cos23 12=+，解
14、得3cos3=微信公众号：逻辑数学精品课 进而6sin3=，所以sin2cosk= xy2xx2x3xBAOF1F2微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 例 4.已知椭圆22221(0)xyabab+=，12FF、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使1290FPF=,求椭圆的离心率e的取值范围. 解析：设点00()P xy，则由第二定义得2100|aPFe xaexc=+=+，2200|aPFexaexc=。微信公众号：逻辑数学精品课 因为12PF F为直角三角形，所以2221212|PFPFFF+= 即222200()()(2 )4a
15、exaexcc+= 解得222022caxe=，由椭圆方程中 x 的范围知2200 xa。 222220caae ，解得212e. 例 5.（2020辽宁实验中学高三期末（理） 设双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，过2F的直线与双曲线的右支交于两点,A B，若1:3:4AFAB =，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 5.2A 10.2B 5.2C .5D 答案：B 解析: 若1:3:4AFAB =，则可设13 ,4AFm ABm=，因为2F是AB的一个四等分点； 若214BFAB=,则22,3BFm AF
16、m=,但此时12330AFAFmm=，再由双曲线的定义，得122AFAFa=，得到0a =，这与0a 矛盾； 微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 微信公众号：逻辑数学精品课 若214AFAB=,则22,3AFm BFm=，由双曲线的定义，得2111212232| 5AFAFmaBFBFBFmaBFama=，则此时满足22211AFABBF+=, 所以1ABF 是直角三角形，且190BAF= , 所以由勾股定理，得2222221212(3 )(2 )AFAFF Faac+=+=，得102e =,故选B. 例 6.过抛物线24yx=的焦点F作直线交抛物线于11()A xy，、22()B xy，若126xx+=，求|AB的长. 解析：设AB的中点为E，点AEB、 、在抛物线准线:1l x = 上的射影分别为GHM、 、.由第二定义知： | |ABAFBF=+ 12| 2| 2( 1)82xxAGBMEH+=+= =微信公众号：逻辑数学精品课 例 7.已知点( 23)A ，,设点F为椭圆2211612xy+=的右焦点，点 M 为椭圆上一
