《三角函数-深度·拔高讲义》第1篇-w范围问题

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1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 公众号 逻辑数学精品课 深度拔高讲义之 三角函数深度拔高讲义 2020/09/16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 三角函数深度拔高讲义 第一篇 三角压轴之范围问题 作者：山东济南徐伟 微信：luoji-math 目录 题型一 与单调性相关 . 3 考向 1：单调性+零点+轴 . 3 考向 2：仅单调相

2、关 . 9 题型二 与零点相关 . 15 题型三 与最值相关 . 19 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 题型一 与单调性相关 考向 1：单调性+零点+轴 【典例】 1.（2019洛阳月考）已知函数( )sin()(0f xAxA=+，0，|)2，4x= 是函数的一个零点，且4x=是其图象的一条对称轴若(,)9 6 是( )f x的一个单调区间，则的最大值为（ ） A18 B17 C15 D13 答案：D. 解析：左（右）临首轴法 因为4x= 是函数的一个零点，且4

3、x=是其图象的一条对称轴 所以12442kk+=+=+，+ 得：3312=+)42kkkk=+（ 同时有：2121 2|()|44424nnT =,化简得：21n= 又因为(,)9 6 是( )f x的一个单调区间，所以6929TT,化简得：18 如图：设区间(,)9 6 右临首轴为x轴，若6x=与4x=之间多于一轴，则：46T 化简得：12T，与上述9T矛盾，故6x=与4x=之间有且仅有一轴. 小于T2T2x轴469关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 此时，只需满足

4、496xxx轴轴轴，即可使得(,)9 6 是( )f x的一个单调区间， 将344()2242kkkx+=轴代入上述不等式，解得：43183636(2)132kkkkk+= 因为此题求21n=的最大值，又已知18， 故先令6k =，求得1819.5，此时取不到小于18的奇数 再令5k =，求得15.2316.5，取不到小于18的奇数 再令4k =时，求得12.4613.5，取到奇数13 综上，max13= 检验： 此时， 由于|2， 所以取340,2kk=， 故选D. （当取31k = 时，42.5kZ=，故舍掉） 又若(,)9 6 右临首轴为4，此时函数周期必定大于右临首轴不为4的情况，故而

5、此时必定小于上述右临首轴不为4的情况，因此不必继续此类情况. 说明：检验标准是满足要求时，34,k kZ，经验告诉我们，未经检验获取的答案往往都是正确答案，但这也仅仅是经验，所以时间允许下还是要检验的. 【解题模板】 题干：已知函数( )sin()f xAx=+（或( )cos()f xAx=+） ，x已知轴是其图像的一条对称轴，x已知点是其图像的一个零点，若( , )a b是( )f x的一个单调区间，则的取值范围为_. 说明：题干中x已知轴，x已知点分别代表两个等式，若具体题目中有其他等量关系亦可取而代关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 Q

6、Q 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 之，下文解题流程中的相关运算仿照进行即可. 解题模板：左（右）临首轴法 Step1.解决不相关量 注：有不相关量先消不相关量 ：借由x已知轴、x已知点条件列等式，消不相关量 ：或有其他相关条件也可操作 Step2.确定目标形式及大致范围. 注：由(21)|4nTxx=已知点已知轴,确定的形式 由2Tba确定的大致范围. ：或有其他相关条件也可操作 Step3.取目标区间右临首轴，记为x轴 注：设右临首轴还是左临首轴应由题干已知轴的位置决定，若已知轴在区间( , )a b的左边，则在区间( , )a b左边设左临首轴为x

7、轴，若已知轴在区间( , )a b的右边，则在区间( , )a b右边设右临首轴为x轴 Step4.选定已知对称轴x已知轴进行下述操作 Step5.假设x轴与题干已知轴x已知轴之间有其他轴，通过2T范围验证假设 注： 对于求解最大值的问题，验证之后，应选择x轴与题干已知轴x已知轴之间可能存在的最多轴的情况进行下述列式. 若经过验证，之间无轴，则列如下不等式求解的范围： xxxaxb已知轴轴轴轴 若之间有 1 轴，则列如下不等式求解的范围： 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必

8、属精品 2xxxaxb已知轴轴轴轴 若之间有 n 轴，则列如下不等式求解的范围： 1xxxanxb+已知轴轴轴轴 一般而言，题目都是第一种情况，即之间无轴的情况. 若( )sin()f xAx=+，则2kx+=轴 2.（2016新课标）已知函数( )sin()(0f xx =+，|)2，4x= 为( )f x的零点，4x=为( )yf x=图象的对称轴，且( )f x在(18，5)36上单调，则的最大值为（ ） A11 B9 C7 D5 答案：B. 解析：右临首轴法 4x= 为( )f x的零点，4x=为( )yf x=图象的对称轴 所以12442kk+=+=+，+ 得：3312=+)42kk

9、kk=+（ 同时有：2121 2|()|44424nnT =,化简得：21n= 又因为5(18,)36是( )f x的一个单调区间，所以5361826TT,化简得：12 如图： 设区间5(18,)36右临首轴为x轴， 若536x=与4x=之间多于一轴， 则：5436T 化简得：9T，与上述6T矛盾，故536x=与4x=之间有且仅有一轴. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 此时，只需满足418536xxx轴轴轴，即可使得5(,)18 36是( )f x的一个单调区间，

10、 将344()2242kkkx+=轴代入上述不等式，解得：4318369 18(2)115kkkkk+= 因为此题求21n=的最大值，又已知12， 故先令3k =，求得11.4512.6，此时取不到小于12的奇数 再令2k =，求得8.189，取到奇数 9 综上，max9= 检验：此时，由于|2，所以取340,1kk=，故选B.（当31k = 时，41.5kZ=，故舍掉） 又若5(,)18 36右临首轴为4，此时函数周期必定大于右临首轴不为4的情况，故而此时必定小于上述右临首轴不为4的情况，因此不必继续此类情况. 3.（2019小店期中）已知函数( )sin()(0f xx =+，0)的图象关

11、于3x=对称，(,0)6是函数( )yf x=的一个对称中心，且( )yf x=在(,)18 6上单调，则的最大值为（ ） 小于T2T2x轴453618关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 A9 B7 C5 D3 答案：A. 解析：右临首轴法 6x= 为( )f x的零点，3x=为( )yf x=图象的对称轴 所以12632kk+=+=+，+ 得：3312=+)4122kkkk+=+（ 同时有：2121 2|()|36424nnT =,化简得：21n= 又因为(618,

12、)是( )f x的一个单调区间，所以261829TT,化简得：9 如图：设区间(618,)右临首轴为x轴，若536x=与4x=之间多于一轴，则：36T 化简得：6T，与上述 , ( ), ( )a b gh矛盾，故536x=与4x=之间有且仅有一轴. 此时，只需满足3186xxx轴轴轴，即可使得( )f x在(,)18 6上单调， 将34443(+)2241224122(2)kkkkxkkk+=轴代入上述不等式，解得：9 181 210kk+ + 因为此题求21n=的最大值，又已知9， 小于T2T2x轴3618关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入

13、 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 于是令4k =，求得8.19，取到奇数 9 综上，max9= 检验：此时，由于33=+41222kk+=+，又由于|2，所以： 可取31k = 时，341.52kkkZ+=（舍） 可取32k = 时，3412kkk+= 可取33k = 时，34122kkkZ+=（舍） 又若(,)18 6右临首轴为3， 此时函数周期必定大于右临首轴不为3的情况， 故而此时必定小于上述右临首轴不为3的情况，因此不必继续此类情况. 考向 2：仅单调相关 【典例】 1 （2018广州一模）已知函数( )sin()(0)6f xx=+在区间

14、4，23上单调递增，则的取值范围为（ ） A(0，83 B(0，12 C12，83 D38，2 答案：B. 解析：明确单调性子集思想 因为( )f x在区间4，23上单调递增，所以2()342T =,解得：1211 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 又函数( )sin()(0)6f xx=+的单调递增区间为：22233,kk+， 由题意知：222332,(,34)kk+即22342233kk+， 化简得：883132kk+，又12011，所以令0k =解得：102

15、【解题模板】 题干： 已知函数( )sin()f xAx=+（或( )cos()f xAx=+）在区间 , a b上单调递增（减） ，则的取值范围为_. 说明：题干中x已知轴，x已知点分别代表两个等式，若具体题目中有其他等量关系亦可取而代之，下文解题流程中的相关运算仿照进行即可. 解题模板： 模板 1.明确单调性子集思想 Step1.解决不相关量 注：有不相关量先消不相关量 ：借由x已知轴、x已知点条件列等式，消不相关量 ：或有其他相关条件也可操作 Step2.确定目标大致范围. 注：由2Tba确定的大致范围. ：或有其他相关条件也可操作 Step3.表示函数( )f x的单调区间 ( ),

16、( )gh Step4. 令 , ( ), ( )a bgh，求解范围. 模板 2.只是单调相邻两轴不在其内 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 Step1.解决不相关量 注：有不相关量先消不相关量 ：借由x已知轴、x已知点条件列等式，消不相关量 ：或有其他相关条件也可操作 Step2.确定目标大致范围. 注：由2Tba确定的大致范围. ：或有其他相关条件也可操作 Step3.表示函数( )f x的对称轴( )t Step4. 令1( )( )kktatb+，求解范围. 注：若是求的范围，则对称轴表示为( )t 模板 3.不单调轴在之间 Step1.解决不相关量 注：有不相关量先消不相关量 ：借由x已知轴、x已知点条件列等式，消不相关量 ：或有其他相关条件也可操作 Step2.确定目标大致范围. 注：由2Tba确定的大致范围. ：或有其他相关条件也可操作 Step3.表示函数( )f x的对称轴( )t Step4. 令( ) , ta b，求解范围. 注：若