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1、蒙日圆及其证明北京丰台二中甘志国 高考题（ 年高考广东卷文科、 理科第 题）已知椭圆：（）的一个焦点为（槡，） ， 离心率为槡（）求椭圆的标准方程； （）若动点（，）为椭圆外一点， 且点到椭圆的两条切线相互垂直， 求点的轨迹方程答案： （）；（） 这道高考题的背景就是蒙日圆普通高中课程标准实验教科书 数学必修版 （ 人民教育出版社， 年第版， 年第次印刷） 第 页对画法几何的创始人蒙日（ ， ）作了介绍以上高考题第（）问的一般情形是：定理曲线：的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆定理结论中的圆就是蒙日圆 先给出定理的两种解析几何证法：定理的证法： 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜
2、率为时， 可得点的坐标是（，） ， 或（，） 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均 不 为 时，可 设 点的 坐 标 是 （，） （， 且） ， 所以可设曲线的过点的切线方程是（） （）由（烅烄烆）， 得 （） （ ）（ ）由其判别式的值为， 得（）（）因为 ， 是这个关于的一元二次方程的两个根， 所以 由此， 得 ， 进而可得欲证成立定理的证法： 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为时， 可得点的坐标是（，） ， 或（，） 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均 不 为 时，可 设 点的 坐 标 是 （，） （， 且） ， 所以可设两个切点分别是（，） ，（，
3、） （） 得直线 ：， 切线 ：， ：所以： （ ） （ ） ， ， 因为点（， 年第期 河北理科教学研究 问题讨论） （，） 既在曲线：上又在直线 ：上， 所以（），（） （） （）（） ，所 以 （）（） ， 由此， 可得 进而可得欲证成立再给出该定理的两种平面几何证法， 但须先给出四个引理引理（ 椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教 科 书 数 学 选 修 版 （ 人民教育出版社， 年第版， 年第次印刷） 第 页）从椭圆的一个焦点发出的光线， 经过椭圆反射后， 反射光线交于椭圆的另一个焦点上（ 如图所示）引理过椭圆（ 其中心是点， 长半轴长是）的任一焦点作椭圆的任意切线的垂线， 设垂
4、足是， 则 证 明：如 图 所示， 设点 ，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上的切点，又设直线 ， 交于点由引 理， 得 （ 即反射角与入射角的余角相等） ， 进而可得 ， 所以点是 的中点， 得 是 的中位线又 ， 所以 （ ）（ ）引理平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明： 由余弦定理可证（ 这里略去过程）引理设点是矩形 所在平面上一点， 则 证明： 如图所 示， 设 矩 形 的中心是点由引理，可得 （ ）（ ） 即 欲 证 成立注： 把引理推广到空间， 得到的结论就是： 底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等定理的证法： 不妨设， 当时， 易证成立下面只证明的情形 如
5、图所示 设椭 圆 的 中 心 是 点， 左、 右焦点分别是，焦 距 是， 过动点的两条 切 线 分 别 是， 连 结 ， 作 ， ， 垂足分别是， 过点作 年第期 河北理科教学研究 问题讨论 ， 垂足为， 由引理得 再作 于记 ，得 由 ， 得 再作 ， ， 垂足分别为，在 中，同 理 可 得 （）由 ， 得矩形 ， 所以 （ ）（ ）（）由 ， 得 （ ）（ ） 由 ， 得 ， 所以 同理， 有 ， 所以四边形 是平行四边形， 进而得四边形 是矩形， 所以 由（） ， （） 得点的轨迹方程是定理的证法： 可设，当时， 易证成立下面只证明的情形如图所 示设椭圆的中心是点， 左、 右焦点分别是，
6、焦 距 是， 过动点的两条切线分别是 ， ， 两切点分别为，分 别 作 右 焦点关 于 切 线 ， 的对称点， 由椭圆的光学性质可得三点，共线（ 用反射角与入射角的余角相等） 同理， 可得三点，共线由椭 圆 的 定 义，得 ， ， 所以 由是的中点， 及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和， 可得 （ ）（ ）（） 由 ， 得 （ ） ， 即三点，共线 又 ， 所以 ， 进而得 （ ） ， （）由 ， 得 （ ）（） 所以 同 理，可 得 所以三点，共线得 （ ） ， 即 由（） ， （）得点的轨迹方程是读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理（） 双曲线（）的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆；（） 抛物线 的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线 年第期 河北理科教学研究 问题讨论
