《导数-深度·夯基系列讲义》夯基点1导数的概念及其运算(1)

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1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内更多高中数学免费优质干货！导数-深度夯基系列讲义夯基点1 导数的概念及其运算一、知识梳理1导数的概念 设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，且x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称在xx0处可导，并称该常数A为函数在xx0处的导数，记作或，即 .注1：函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”注2：若函数在区间(a，b)内任意一点都可导，则在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作的导函数，记作.2.导数的几何意义函数在x

2、x0处的导数的几何意义是在曲线上点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P(x0，y0)的切线方程为yy0f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 (C为常数)且且4.导数的运算法则若存在，则有：（1） ；（2）；（3）.5.复合函数的导数 (1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积6.常用结论1奇函数的导数是偶函数，

3、偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2熟记以下结论：(1)；(2)(ln|x|)；(3) ；二、考点梳理考点一 导数的运算 1.求下列函数的导数(1)yx53x35x26；(2)y(2x23)(3x2)；(3)yexcosx；(4)yxlnx；(5)ylog2xx2.(6)yln(2x2x)；(7)yx.【解析】(1)y(x53x35x26)(x5)(3x3)(5x2)65x49x210x.(2)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)3(2x23)18x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)y(ex)(cos

4、x)exsinx.(4)y1lnxxlnx1.(5)y2x.(6)设u2x2x，则yxyuux(ln u)(2x2x)(4x1).(7)yxx().先求t的导数设u2x1，则tu，txtuuxu(2x1)2.y.2f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()Ae2B1 Cln 2 De【答案】B【解析】f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.3(2019宜昌联考)已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()A. B. C. D2【答案】C【解

5、析】因为f(x)f(1)2xln 22x，所以f(1)f(1)2ln 22，解得f(1)，所以f(x)2xln 22x，所以f(2)22ln 222.4等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f (0)_.【答案】212【解析】f (x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f (0)(0a1)(0a2)(0a8)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f (0)84212.5.设f0(x

6、)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2017(x)等于()AsinxBsinxCcosxDcosx【答案】C【解析】f0(x)sinx，f1(x)f0(x)(sinx)cosx，f2(x)f1(x)(cosx)sinx，f3(x)f2(x)(sinx)cosx，f4(x)f3(x)(cosx)sinx，4为最小正周期，f2017(x)f1(x)cosx.考点二 导数的几何意义及其应用 考向1.求切线方程1.曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.【答案】2.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_【答案】【解析】yln

7、x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.3.(2018全国卷) 设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） 【答案】4.已知曲线及点P(0,0),那么过点P的曲线S的切线方程为.【答案】或考向2.求参数5.设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_.【答案】a1.【解析】y，y|x1.由条件知1，a1.6.已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_【答案】a8.【解析】由yxln x，得y1，得曲线在点(

8、1，1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.又该切线与yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，a0且a28a0，解得a8.7.（拔高题）设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为.【答案】【解析】因为f(x)=-ex-1,g(x)=3a-2sin x,所以直线l1,l2的斜率分别为因为l1l2,所以即3，因为对任意的xR,有，故存在x0R,使得03a-2sin x01,即1-23a2,即考向3.求最值8.在抛物线yx2上求一点，使之到直线4x3y80的距离最小【答案】【解析】如图所示，由题意知作与4x3y80平行的直线l，当l与yx2相切时，切点P到直线4x3y80的距离最小设切点为(x0，x)，又y(x2)2x，2x0，x0，y0x，点P，即抛物线yx2上的点到直线的距离最小9.已知点P是曲线yx2ln x上一点，求点P到直线yx2的最小距离【答案】【解析】过P作yx2的平行直线，且与曲线yx2ln x相切，设P(x0，xln x0)，则ky|xx02x01，x01或x0(舍去)，p的坐标为(1,1)，dmin.关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内更多高中数学免费优质干货！