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1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品公众号逻辑数学精品课深度拔高系列之导数2020/09/16导数-深度拔高系列讲义第3篇 构造函数解决函导压轴小题（内附：万能积分法+不定积分详解）总编：山东济南徐伟目录一、技能储备3情境一.常规构造3题型：指幂型3题型：三角型5题型：对数型5情境二.非常规构造5题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于和之外的项5题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法）9二、拓展：不定积分12一、原函数与不定积分12二、基本积分表13三、不定积分的性质13四、计算方法14NO.1第一类换元积分法（凑微分法）14NO.2
2、第二类换元法15NO.3分部积分法（凑微分法）16三、典型例题17一、技能储备【引例】已知函数的图象关于y轴对称,且当成立，,则的大小关系是 ( ) 类似于引例，在已知这种导数相关式（等式或不等式）的前提下，让我们解与相关的不等式或比较大小的题目，这种问题的难点是如何通过导数相关式构造出与相关的单调性可推算的新函数（有时也直接求出的解析式）进而求解问题构造新函数是解决这类问题的通法也是难点，下面我们就以导数相关式的种类为依据进行分类，分别介绍不同类型下如何构造新函数.微信公众号：逻辑数学精品课情境一.常规构造 题型：指幂型 【解题模型】 1. 若，则可构造函数；2. 若，则可构造函数；3. 若
3、，则可构造函数； 若，则可构造函数，().4. 若，则可构造函数； 若，则可构造函数，().5. 若，则可构造函数；微信公众号：逻辑数学精品课 若，则可构造函数，().6. 若，则可构造函数； 若，则可构造函数，().7. 若，则可构造函数； 8. 若，则可构造函数；9.若，则可构造函数； 若，则可构造函数(注意x的正负)； 若，则可构造函数(注意x的正负)；10. 若，则可构造函数(注意x的正负，n的奇偶)；题型：三角型【解题模型】11. 若，则可构造函数； 若，则可构造函数(注意x的取值范围)；12. 若，则可构造函数；若，则可构造函数 (注意x的取值范围)；题型：对数型【解题模型】 微信
4、公众号：逻辑数学精品课13. 若，则可构造函数； 若，则可构造函数；14. 若，则可构造函数()； 若，则可构造函数()；情境二.非常规构造题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于和之外的项题型概述：由于导数相关式中存在独立于和之外的项，也就意味着我们通过情境一中的模型构造完函数之后，还存在未被构造的项，此时面临的问题是：如何处理，我们有如下处理策略：【解题策略】题型1.1：导数相关式为等式【典例1】设函数满足则函数（ ）在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减；【典例2】设函数是函数的导函数，且则的解集为（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 题
5、型1.2：导数相关式为不等式【典例3】若定义在上的函数的导数满足且，则下列结论一定成立的是（ ） 【典例4】设函数在R上的导函数为，且，下面不等式恒成立的是（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法）题型概述：导数相关式是由常规构造中若干模型组合而来，有也有，但是不存在独立项【解题策略】下面以这道题为例，对积分法的一些升级操作及其万能属性进行说明【典例5】已知是定义在上的可导函数，且满足，则 在上为减函数 在上为增函数【题1】已知，构造函数.【题2】已知，构造函数.【题3】已知，构造函数.下面学点积分吧，如果你也想万能二、拓展：不定积分 一、原函数与不定积分
6、定义1：若，则称为的原函数。 连续函数一定有原函数； 若为的原函数，则也为的原函数；事实上， 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由，得故表示了的所有原函数，其中为的一个原函数。定义2：的所有原函数称为的不定积分，记为，积分号，被积函数，积分变量.显然二、基本积分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、12、13、三、不定积分的性质1.2.四、计算方法NO.1第一类换元积分法（凑微分法）方式1.题1、求不定积分方式2. 题2、求不定积分方式3. 题3、求不定积NO.2第二类换元法方式1.三角代换题4、解：令，则原式=题5、解：令原式=小结：中含有可考虑用代换方式2.无理代换例6、解：令原式=
7、NO.3分部积分法（凑微分法）分部积分公式：简证：因为，于是，故： （前后相乘）（前后交换）口诀：“对反幂三指”，分别对应对数函数、反函数、幂函数、三角函数、指数函数。越往前则可认定在不定积分中充当着，越往后则为。例7、例8、例9、或解：令原式例10、故三、典型例题例题以情境1为主，其他情境在前文已有例题对应，在此不再赘述.【例6】已知函数的图象关于y轴对称,且当成立，,则的大小关系是 ( ) 微信公众号：逻辑数学精品课 【例7】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（ D ） 【例8】已知为上的可导函数，且，均有，则有A， B，C， D，微信公众号：逻辑数学精
8、品课【例9】 已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（ C ） 微信公众号：逻辑数学精品课【例10】已知函数对任意的满足,则（ ）A B. C. D. 【例11】若函数y=在R上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，则必有（ ）A B C D【例12】已知是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足0，对任意正数、，若，则必有（ ）A B 微信公众号：逻辑数学精品课C D【例13】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（ C ） 【例14】函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1
9、) D(，)【例15】已知函数满足，且，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【例16】定义在上的函数，其导函数满足，且，则关于的不等式的解集为 【例17】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，且，则的解集为 微信公众号：逻辑数学精品课【例18】函数的定义域是，对任意，则不等式的解集为（ A ）A. B. C. D. 【例19】设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是 【例20】已知定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为（ C ）A. B. C. D.【例21】函数的定义域为R，对任意xR，都有成立，则不等式的解集为（ C ） A. B. C.
10、 D.【例22】设是定义在上的函数，其导函数为，若，,则不等式的解集为（ D ）A. B. C. D. 【例23】函数是定义在上的偶函数,且时,则不等式的解集是_【例24】设是上的可导函数，则不等式的解集为 【例25】设分别是定义在上的奇函数、偶函数，当时，则不等式的解集为 . 微信公众号：逻辑数学精品课【例26】已知上的函数满足，且，若，则关于的不等式的解集为 . 【例27】设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，则关于的不等式的解集为_.【例28】设是上的可导函数，且，.则的值为 .【例29】已知的导函数为，当时，且，若存在，使，则的值为 1 .（提示：构造）【例30】已知定义在上的函数满足，且，若有穷数列的前项和等于，则等于 5 .【例31】 已知,都是定义在R上的函数，且（，且）。，若数列的前项和大于62，则的最小值为（ A ）微信公众号：逻辑数学精品课 A 8 B 7 C 6 D 5【例32】已知、都是定义在R上的函数，在区间上随机取一个数， 的值介于4到8之间的概率是（）A B C D微信公众号：逻辑数学精品课【例33】已知函数对任意的满足,则（ ）A B. C. D. 加入QQ群439883560，获取解析版学生Word版讲义 逻辑出品，必属精品
