《高三数学一轮温习必备导数定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮温习必备导数定积分（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2009-2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第38讲导数、定积分一. 【课标要求】1. 导数及其应用（1）导数概念及其儿何意义 通过对人量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬吋变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数y=c, y=x, y=x2, y=x3, y=l/x, y=x的导数； 能利用给岀的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b）的导数； 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数
2、中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利川导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最人值、 最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和冇效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率故高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求Illi边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助儿何直观体会定积分的基本
3、思想，初步了解定积分的概念； 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基 本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在 人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中”数学文化“的耍求。二. 【命题走向】导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关 知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多 样，以选择题、填空题等主观题冃的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答 题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性
4、、极值、最值，估计 2010年髙考继续以上而的儿种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般 难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属 于高考的中低档题；（2）2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几 何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的 简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预 测2010年高考呈现以卜儿个特点：（1）新课标第1年考察，难度不会很
5、大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察 及简单的应用；髙考中木讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运 算,属于中低档题;(2) 定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际 问题要很好的转化为数学模型。三. 【要点精讲】1. 导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在X。处冇增量Ax,那么函数y相应地冇增g Ay =f (x + Ax )f ( x(),比值叫做函数y二f ( x )在x()到x () + Ax之间的平均变化率，即 AxAy 一/()+心)一/為)O如果当心TO时，怂有极限，我们就说函数尸f(x)在点x()处可导，并把这个极限
6、Ar叫做f (x)在点x处的导数，记作F(X。)或ylg。即 f(X。)Jim 型=lim 。+心)7(心。mto 心 mtoAr说明：(1) 函数f(X)在点X。处可导，是指心TO时，0有极限。如果型不存在极限,AxAx就说函数在点x()处不可导，或说无导数。(2) Ax是白变量x在x处的改变量，AxHO时，而是函数值的改变最，可以是 零。由导数的定义可知，求函数y=f (x)在点x()处的导数的步骤(可由学生来归纳)：(1) 求函数的增量Ayh (x0+Ax ) f (x0 )；(2) 求平均变化率乞丿氏+心)一。)；ArAx(3) 取极限，得导数f(x0)= limo&to Ax2. 导
7、数的儿何意义函数y=f (x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0 ) 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p(X。，f(X。)处的切线的斜率是F (x0)o相应地，切线方程为yy()=P(x() (xx()。3. 常见函数的导出公式.(1)(cy=o(C为常数)(2)(xny = n-xn-1(3 ) (sin x)f = cosx( 4 ) (cosx)z = -sinx4. 两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(土 V)= U V 法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数
8、的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以笫二个函数的导数，即：(wv) = w v + wv .若C为常数，则(C二Cu + C” =0 + Cu =Cu.常数与函数的积的导数等于常数 乘以函数的导数：(Cu)法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方：-冬f who)。3丿V形如y=f(p(x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。 法则：yz I y l(/丨x5. 导数的应用(1) 一般地，设函数y = /(X)在某个区间可导，如果/(x)0,则/(兀)为增函数;如果/ (x)0,则/为减函数；如果在某区间内恒有/ (
9、x) = 0,则/为常数；(2) 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3) 一般地，在区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最人值与最小值。求函 数/(兀)在(a, b)内的极值；求函数/(兀)在区间端点的值/(a)、/(b)；将函数f (x)的各 极值Ai/(a). f(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6. 定积分(1) 概念设函数f(x)在区间a,切上连续，用分点a=XOX1-xz-iX/0)m 成的 111!边梯的面积 S = f(x)dx。f(x)dx|
10、 f(x)dx (其中 ac/2W20),及直线x=a, x=b (avb)围成，那么所求图形的面积S = s曲边梯形AMNB S曲边梯形DMNC=四.【典例解析】题型1：导数的概念例1.已知S二丄gf2, (1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、2均速度；(2)求t与秒是瞬时速度。3.0001秒.各段内平解析：(1) 3,3.1,= 3.1 3 = 0丄/指时间改变量;1 9 1 9= 5(3.1)-5(3) = -g3.12 一一g32 = 0.3059.山指时间改变量/越小,2 2-V =03059 =3.059.Ar 1其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间
11、内的平均速度后, 即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2）从（1）可见某段时间内的平均速度一随 变化而变化, Ar于-个定值，由极限定义可知，这个值就是时，万的极限,V= lim&T()Ar = lim山TO$(3 + zV)-$(3)=lim/Avt()1 91 9(3 + &)2322g2Ar(6+A/)=3g=29.4(米/秒)。4例2.求函数y二=的导数。x解析:Ay =4(x +Ax)24Ax(2x + Ax)x2(x +Ax)22x +Axx2(x +Ar)2lim-山 TOlim山tO-4-2x + Axx2(x +Ax)2点评：掌握切的斜率、瞬时速度，
12、它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定 基础。题型2：导数的基木运算例3.求y = x（x2 +丄+丄）的导数；X X、（2）求=（頁+ 1）（土 1）的导数; Q XXX(3) 求y = x-sincos 的导数;2 2x(4) 求丫=亠的导数；sin兀(5)求y=3八皿+ 5仮-9的导数。i9解析：(1) v = x3 +1 + , a y = 3x2- Qx_1_1J(2)先化简，y = yx . -j= fx H-j= 1 = X 2 + 兀 2Q X冷X y2 2(3)4)先便用三角公式进行化简.X X1.y = x-sin cos = xsinx 2 2 21 .x sinx2丿x - (sinx) = 1-cosx.2 2z、 (x2ysinx-x2 *(sinx) 2xsinx-x2 cosx y,=硏sin2 x3_(5) *. y= 3x2 x+ 5 9x 22丄3丄1 卫Y，=3*(X2)，X，+5 一 93) =3-x-l+0-9* (一 卫亠2仮(1 + A)_l o2x点评：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这 样町以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形 式，但在求导前利用代数或三角悝等变形将函数先化简，然后进行求导.有
