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1、高三数学总复习讲义不等式的性质 知识清单：1. 不等式的性质：（1）（对称性或反身性巾bobb, b c n a c ;（可加性）bw+cb+c,此法则又称为移项法则；（同向可相力口）o h, c d = a + c b + d（口J 乘性）ab, cO=acbc； ab, cOnac b 0, c d 0 a ac bd（5）（乘方.法贝lJ）ab0a2wN）oa b” 0（6）（开方法则）a bO（ne N, N2）o 丽丽 0（7）（倒数法贝l）db, ”（）=丄abc = （a+b+c）（a2-b2-c2-cib-ac-be）可推 Ill a +b+c 2 3abc（a + /? +
2、c 0等式即町成立，a=Z?=c测+b+c=O0寸取等）； 如果a,b,cxx是正实数,那么a + b +蚯.3（当且仅当归c吋取“二”号）3. 绝对值不等式：（1）|a|_”|W a| +问（$ 0时；取等号）（2）血+幻+勺底心+如+如注：均值不等式可以用來求最值（积定和小，和定积大）, 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.课前预习1. （06上海文，14）女口果q00,那么，下列不等式中正确的是（）1 1（A）- a b2. （06江苏，8）设a、b、c是互不相等的正数,(B) -a y/h(C)a2 b则下列等式中不恒成立的是(A) la-blSld cl + lb-cl(B)
3、d? + A cT1a+ a(C) a-b-2 a- b(D) Ja + 3 - y/a + a3.（2003京春文,1）设, 4 c, dWR,且d4 ody则卜列结论中正确的是4.A.ci+ch+dB.achdC.aobda bD.- d c（1999上海理，15）若ab-和丄a b I a I b1均不能成立士讦和占诂均不能成立C.不等式丄丄和 a- b a（a+丄）2 （b+丄）2均不能成立 baD不等式占击和),D.PRbX)9f 是+7 ” 的()2（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不允分也不必要条件6. （1） （2001京春）若实数、b满足a
4、+b=2,贝13+3的最小值是（）A. 18B.6C.2a/3D.2V3 7. (2000 全国，7)若 ab, P= Jigalgb , Q= (lga + lgb), 7?=lg( 十则()A.RPQ B.PQR C.QP （/?+ ） $均不能成立ab09级高三数学总复习讲义一一不等式证明 知识清单：一、常用的证明不等式的方法1. 比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差一变形一判断一结论；为了判断作差后 的符号，有吋要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平 方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2. 综合法利用某些己经证明过的不等式(例如算术平均数与
5、几何平均数的定理)和不 等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经 证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是：人=妫=场=$=，及从已知 条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推嗨出所要证明的结论3. 分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充 分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定 这些充分条件都己具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析 法。注意：(1) “分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把 证明不等式转化为判
6、定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；(2) 综合过程冇时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径， 然后用综合法的形式写出证明过程。二、不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形” 并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。1. 不等式同解变形(1)同解不等式(l)/(x)g(x)与于(Q+Fgg + F(兀)同解；(2 ) m 0, /(%) g(x)与 mf(x) 同 解，m g(x)与mfx) 0与门兀)g(x)0 (gd)工0同解)；g(x)2. 一元一次
7、不等式解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基 础，必须熟练掌握，灵活应用。(l)a 0处/?=分 (2) = 0情况分别解之。(3) 0 (d 工 0)或 a，+ 加 + c v 0 ( H 0)= 分 0 及 a v 0 情况分 别解Z,述要注意二戸_4必的三种情况，即A0或A = 0或AvO,最好联系二次函数的图象。4. 分式不等式分式不等式的等价变形： 凹Oof(x)g(x)0, 竺巩力。g(x)g(Qg HO5. 简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及 到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝
8、对值不等式的常用方法： 讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化 为一般不等式； 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：lx Iva o x2a2 ax0), lxla x2a2 xa 或 x0)o 一般地有：lf(x)lvg(x)o g(x)f(x)g(x) o f(x)g (x)或 f(x)as(x)=(1) 当g1 时，/(x)g(x)；(2) 当0 vavl时,/(x) 0, log 方)olog, logrt h =等,mlogz, alog“/(x)log“g(x)=.g(x)0(1) 当G1 时，；fM g(x)/(%) 0(2) 当 0 v o
9、v 1 时，qo8. 线性规划(1) 平而区域一般地，二元一次不等式Ar + By + CO在平而直角坐标系中表示 Ax+By+C = 0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域 不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式Ax + By-C0所表示的平面区域 时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。说明:由于直线Ax + By + C = O同侧的所有点的坐标(x,刃代入Ax + By + C , 得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点(兀。,儿)，从 AxByC的正负即可判断Ax + By + C0表示直线哪一侧的平面区域。特别地, 当CHO时，通常把原点作为
10、此特殊点。(2) 有关概念引例：设z = 2x + y ,式中变量兀,y满足条件x-4y -3 由题意，变量兀,y所满足的每个不等式都表示 一个平面区域，不等式组则表示这些平而区域的公 共区威。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 兀= 0,y = 0时，z = 2x+y = 0,即点(0,0)在直线加 2兀+ y = o上，作一组平行于/()的直线/ ： 2兀+ y = f, t w R ,可知：当/在的右 上方时，直线/上的点(兀，刃满足2x + y0,即/0,而且，直线Z往右平移时， /随Z增大。由图彖可知，当直线/经过点A(5,2)时，对应的f最大， 当直线/经过点B(l,l)时，
11、对应的f最小，所以，=2x5 + 2 = 12,在上述引例中，不等式组是一组对变量兀,y的约束条件，这组约束条件都是 关于兀,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z = 2x + y是要求最大值或最 小值所涉及的变量兀,y的解析式，叫口标函数。又由于z = 2x + y是兀,y的一次解 析式，所以乂叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成 的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其 中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，
12、它们都叫做这个问 题的最优解。课前预习1. 已知I 0,方0,且a+b=i.求证：(+丄)(b+丄)2兰。a b 42. (06海理，12)三个同学对问题“关于兀的不等式x2+25 + x35x2ax 在1, 12上恒成立，求实数。的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值乙说：“把不等式变形为左边含变量兀的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于兀的函数，作出函数图像”；参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即d的取值范围 是03. （2002京皖春，1）不等式组10的解集是（）x2-3x0A. (x I - x Bx I 0x 3 C. x I 0xlD. x I -lx0的解集为()x 3A.xLx3C.xlx3 D.xllx0的解集是()A. x I 0xl B. x I x0 ftx-1 C. x I -1x1 D. (x I x
