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1、 高二上学期期中考试高二上学期期中考试含解析含解析 1在空间直角坐标系下，点( 2,6,1)M 关于y轴对称的点的坐标为( ) A(2, 6,1) B(2,6, 1) C( 2, 6, 1) D(2, 6, 1) 答案：答案：B 【解析】由题意得，点( 2,6,1)M 关于y轴的对称点的坐标为(2,6, 1)故选B 2若椭圆2214xyp的一个焦点为(0, 1)，则p的值为( ) A5 B4 C3 D2 答案：答案：C 【解析】由题意得，41p，解得3p 故选C 3将直线330 xy绕着原点逆时针旋转90，得到新直线的斜率是( ) A33 B33 C22 D22 答案：答案：A 【解析】原直线
2、的倾斜角为60，旋转后倾斜角为150 , 新直线的斜率为33故选A 4已知实数, x y满足2284160 xyxy，则x的最大值是( ) A3 B2 C1 D2 答案：答案：D 【解析】 方程变形为22(4)(2)4xy， 则圆心坐标为( 4,2)， 半径2r ， 则x的最大值是422 故选 D 5已知直线:20l xmy，若圆22:6430C xyxy 上存在两点,P Q关于直线l对称，则m的值为( ) A52 B32 C12 D5 答案：答案：A 【解析】圆22:6440,C xyxy圆C的圆心坐标为(3, 2)，又圆22:6440C xyxy上存在两点,P Q关于直线l对称，直线l经过
3、圆心，3220m，解得52m 故选 A 6已知直线1:(1)210laxy 与直线2:310lxay 平行，则a ( ) A3 或2 B2 C3 D2 答案：答案：C 【解析】由题意得，(1)2 30a a ，即260aa，解得3a 或2a ， 当3a 时，两直线方程分别为2210,3310 xyxy ，此时两直线平行； 当2a 时，两直线方程分别为3210,3210 xyxy ，此时两直线重合，舍去 综上，3a 故选C 7在四棱锥SABCD中，(4, 1,0),(0,3,0),( 3,1, 5)ABADAS ，则这个四棱锥的高h为( ) A2 B3 C4 D5 答案：答案：D 【解析】设平面
4、ABCD的法向量为( , , )x y zn，则00ABADnn，即4030 xyy， 00 xy，取1z ，则(0,0,1),n这个四棱锥的高|55|1AShnn故选D 8过圆229xy上一点P作圆222:(0)O xyr r的两条切线，切点分别为,A B，若2APB，则r ( ) A1 B22 C2 D3 22 答案：答案：D 由题意得，03r，如图，四边形OAPB是正方形，| 3OP ，则3 22r 故选D 9已知直线21: 3sin20lxy，若12ll，则2l的倾斜角的取值范围是( ) A,3 2 B0,6 C,3 2 D0,6 答案：答案：D 【解析】当2sin0时，2112122
5、233sin,1,sin3kllkkk 2230sin1,03k 剟 设直线2l的倾斜角为,0, ) ， 则30 t a n, 036 剟； 当2s i n0时，直线1l的斜率不存在，倾斜角为122,2lll的倾斜角为 0综上，0,6故选 D 10 在正方体1111ABCDABC D中， 棱11,BC AB的中点分别为,E F， 则直线EF与1AB所成角的正弦值为( ) A36 B336 C33 D63 答案：答案：B 【解析】设正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，以D为坐标原点，1,DA DC DD分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(2, 0, 0)A
6、,1(2,2,2),(1,2,0),(2,1,2)BEF，则1(0, 2, 2)AB (1,1, 2)EF ， 设直线EF与1AB所成角为， 则11233 3c o s, s i n6662 2|EF ABEFAB 故选B 11已知圆22222:1mO xym，直线:20(0)l mxym与圆O没有公共点，斜率为k的直线l与直线l垂直，则2mk的取值范围是( ) A(1,3) B2 2,3) C(1,2 2 D2 2,) 答案：答案：B 【解析】由题意得，22201mm，即1,m直线l与圆O没有公共点，22|2 |2211mmm，解得2, 12.mm 直线l与直线l垂直， 12,22 2kmk
7、mmm ， 当且仅当2mm， 即2m 时取等号，又1m 或2m 时，23,2mmkm的取值范围是2 2,3)故选 B 12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点F且倾斜角为4的直线与椭圆C形成的弦长为85，且椭圆C上存在 4 个点, ,M N P Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为( ) A4 B4 2 C8 D16 答案：答案：A 【解析】 由题意得，32ca， 故2 ,3, ( 3,0 )abcbFb， 则直线:3l yxb， 联立2223440yxbxyb，解得2258 380 xbxb，其中232b ，故所形成的弦长为2328255b，解得1b ，即椭圆
8、22:14xCy 由 对 称 性 设00,M x y， 其 中000 x y ， 则000000,NxyPxyQ xy， 则00| 2,| 2MNxMQy，故矩形MNPQ的面积22200004,16Sx ySx y24220004164216xxx ，故矩形MNPQ面积的最大值为 4，故选A 13设空间向量( 3,1, ),(2, ,5)xx ab，且ab，则x _ 答案：答案：1 【解析】由题意得，0,650 xx a b，解得1x 14设圆221:244Cxyxy，圆222:680Cxyxy，则1C，2C有_条公切线 答案：答案：2 【解析】由题意得，圆2221:(1)(2)3Cxy，圆2
9、222:(3)(4)5Cxy， 22121(1 3)( 24)2 13(2,8),CCC 与2C相交，有 2 条公切线 15设12,F F是椭圆22:1167xyC的左、右焦点，点P在C上，O是坐标原点，且| 3OP ，则12PFF的面积为_ 答案：答案：7 【解析】由题意得，1214,3,| 3,2acOPFFP在以线段12F F为直径的圆上， 222121212,36PFPFPFPFFF， 由椭圆的定义知，128PFPF， 由，解得1 21212114,2PF FPFPFSPFPF7 16在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且33BEAB， 且它们所在的平面
10、互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FNBN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当ME MN取最小值时，活动弹子M与点B之间的距离为_ 答案：答案：53 【解析】四边形ABCD为正方形，则ABBC， 又平面ABCD 平面ABEF，平面ABCD平面,ABEFABBC平面ABEF 四边形ABEF为矩形，BEAB， 以B为坐标原点， 以射线,BA BE BC分别为, ,x y z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0), (1,0,0), (0,0,1), (0,3,0),(1,3,0)BACEF， 点N在BF上，且22,2,03FNBNN，又M在线段AC上移动， 则有(
11、 ,0,)(0,1)CMtCAtt t，易得点( ,0,1),(,3,1)M ttMEtt ， 22228,2,1 ,6(1)27333MNttME MNt tttt22552,39t 当23t 时，ME MN取得最小值，此时点21,0,33M，则2221215,0, |,33333BMBM 活动弹子M与点B之间的距离为53 17已知点(3, 1)P ()若直线l与直线3,7yx分别交于点,A B，且线段AB的中点为P，求直线l的斜率； ()若直线l过点P且原点到该直线的距离为 3，求直线l的方程 【解析】()由题意设点( ,3), (7, )A aBb，则7632ab ，解得1,5ab 4
12、分 直线l的斜率为511.73 5 分 (II)当直线l的斜率不存在时，其直线方程为3x ，满足题意；6 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1(3)yk x ，即310kxyk 则原点到直线l的距离2| 31|31kdk，解得43k ，8 分 则直线l的方程为43150 xy9 分 综上所述，直线l的方程为3x 或43150 xy10 分 18已知定点(4,0),(1,0)MN，动点P满足6|MN MPPN，设点P的轨迹为E ()求轨迹E的方程； ()若点,Q R分别是圆22142xy和轨迹E上的点，求,Q R两点间的最大距离 【解析】()设动点( , )P x y，则(4, ),(
13、3,0),(1,)MPxy MNPNxy ， 又226|, 3(4)6 (1)()MN MPPNxxy 3 分 化简得223412xy，即22143xy，动点P的轨迹E的方程为22143xy6 分 ()设( , )R x y，圆心到轨迹E上的点的距离 22221117135 (33)23432dxyyyyy剟10 分 当32y 时，maxmax5, |25dQR12 分 19如图，在三棱锥SABC中，SC 平面3,3,22,2ABC SCACBC CEEBAC，CDED ()求证:DE 平面SCD； ()求SB与平面SCD所成角的正弦值 【解析】()由题意得，,AC BC SC两两垂直，以C为
14、原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则3,0,0 ,(1,1,0),(0,2,0), (0,0,3)2ADES， 则( 1,1,0),(1,1,0),(0,0,3)DECDCS ，3 分 1 1 00,0000DE CDDE CS ， 即,DECD DECS，又,CDCSCDE平面.6SCD分 ()由()知( 1,1,0)DE 为平面SCD的一个法向量，7分 又(0,3,0), (0,0,3)BS，则(0,3, 3)SB ，8 分 设SB与平面SCD所成角为， 31sin|cos,|2| |3 22SB DESB DESBDE， SB与平面SCD所成角的正弦值为1.212 分 20 设圆C的圆
15、心为(m， 0)， 半径为r， 圆C过点(2， 0)， 直线l： xy20 交圆C于M， N两点， 且| 2 2MN ()求圆 C 的方程； ()已知4m ， 过点(1,0)的直线与圆C相交于1122,P x yQ x y两点， 其中121,0 xxy 若存在( ,0)A t，使得x轴为PAQ的平分线，求正数 t 的值 【解析】()设圆C的方程为222()xmyr， 由题意得，2222(2)222 22mrmr，解得24r ，0m 或4m ， 圆C的方程为224xy或22(4)4xy5 分 ()由()知，圆C的方程为224xy 设直线PQ的方程为(1)yk x， 联立224(1)xyyk x，
16、化简得22221240kxk xk， 2212122224,.711kkxxxxkk分 x轴平分,0PAQAPAQkk，则12120yyxtxt，1212110k xk xxtxt， 即1 2122(1)20 x xtxxt，10 分 2222242(1)2011kkttkk，解得4t ，当4t 时，x轴为PAQ的平分线12 分 21 如图， 在几何体111ABCABC中， 底面ABC是边长为 2 的正三角形，1AA 平面ABC，111/ / /AABBCC，且1116236,AABBCCE是AB的中点 ()求证:CE/平面111ABC； ()求二面角111BACA的余弦值 【解析】()取11A B的中点F，连接1111,/ / /EF C FAABBCC， 1/ /EFCC，且11112,2EFAABBEFCC， 四边形1EFC C是平行四边形，1/ /,CEC F3 分 又CE 平面1111,ABC C F 平面111,/ /ABCCE平面111,ABC5 分 ()取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则1111111( 1,0,1),(0, 3,
