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1、普陀区2020学年高三第二学期质量调研数学试卷考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集,若集合,则 .2. 若复数(表示虚数单位),则 .3. 函数的零点为 .4. 曲线的顶
2、点到其准线的距离为 .5. 若,则 .6. 设棱长为的正方体的八个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 .7. 设,则 .8. 设无穷等比数列的前项和为,若,且,则公比 .9. 设、均为非负实数且满足,则的最小值为 .10. 某学校从名男生、名女生中选出2名担任招生宣讲员,则在这名宣讲员中男、女生各人的概率为 (结果用最简分数表示).11. 设是直线上的动点,若,则的最大值为 .(第12题)12. 如图,在中,. 若为内部的点且满足,则 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设、均为非零实数且
3、,则下列结论中正确的是( ) 14. 设,则双曲线的焦点坐标是( ) 15. 设是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,则“”的一个充分非必要条件是( ) ,且, ,且 ,且 ,且16. 已知函数,设()为实数,且.给出下列结论: 若,则; 若,则.其中正确的是( )与均正确 正确,不正确不正确,正确 与均不正确三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图,设底面半径为的圆锥的顶点、底面中心依次为、,为其底面的直径. 点位于底面圆周上,且. 异面直线与所成角的大小为.(第17题)(1
4、)求此圆锥的体积;(2)求二面角的大小(结果用反三角函数值表示).18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)设函数()的反函数为.(1)解方程:;(2)设是定义在上且以为周期的奇函数.当时,试求的值.19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)如图所示,某人为“花博会”设计一个平行四边形园地,其顶点分别为(),米,为对角线和的交点.他以、为圆心分别画圆弧,一段弧与相交于、另一段弧与相交于,这两段弧恰与均相交于.设.(1)若两段圆弧组成“甬路”(宽度忽略不计),求的长(结果精确到米);(第19题)(2)记此园地两个扇形面积之和为,其余区域的面积为.对于条件(1)
5、中的,当时,则称其设计“用心”,问此人的设计是否“用心”?并说明理由.20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 已知曲线:的左、右焦点分别为、,直线经过且与相交于、两点.(1)求的周长;(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为,且与圆相切,求的方程;(第20题)(3)设的一个方向向量,在轴上是否存在一点,使得且?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 记实数、中的较大者为,例如,.对于无穷数列,记(),若对于任意的,均有,则称数列为“趋势递减数列”.(1)根据下列所给的通项公式,
6、分别判断数列是否为“趋势递减数列”,并说明理由., ;(2)设首项为的等差数列的前项和为、公差为,且数列为“趋势递减数列”,求的取值范围;(3)若数列满足、均为正实数,且,求证:为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.2020学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.题
7、号13141516答案DBCA三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)解: (1)设圆锥的高为.以为坐标原点,以、所在的直线分别为、轴,建立空间直角坐标系,如图所示.根据题设条件,可得、.,3分由异面直线与所成角的大小为,得,解得.5分 圆锥的体积.6分(2)取的中点,连接、. 由,得;再由,得. 所以即为二面角的平面角.10分 圆锥的底面,所以,故为直角三角形.在中,故13分 即,故二面角的大小为14分 (坐标法比照给分)18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
8、解:(1)(*)2分 将(*)变形,得,3分即,解得或.5分经检验为增根.所以原方程的解集为.6分(2)(),所以当时,9分, 由于是定义在上且以为周期的奇函数,所以对于任意实数,均有,.11分 故12分 又因为,所以,故即14分19. (本题满分14分,第(1)问7分,第(2)问7分)解:(1)根据题设条件,可得在中,.1分由正弦定理,得,即.3分故4分,所以5分 当时,米.答:甬路的长约为米.7分(2)由(1)得 ,在中,由余弦定理,得,故,所以10分(按思维框架给分),故13分(按思维框架给分)当时,.所以此人的设计是“用心”的.14分20. (本题满分16分,第(1)问4分,第(2)问
9、6分,第(3)问6分)(1)根据题设条件,可得,故,根据椭圆定义,可知,1分,2分 由,得的周长为.4分(2)设圆的方程为() 令,得,故,得.6分 由与圆相切,得到直线:的距离.解得,8分故直线的方程为.10分(3)假设在轴上存在一点,设直线的方程为(),将直线的方程和椭圆的方程联立,得,消去并整理,得,必有令,则12分 13分故线段的中点的坐标为,则线段中垂线的方程为 14分令,得,点到直线的距离 15分又因为,所以,即 化简得,解得,故.16分21. (本题满分18分,第(1)问4分,第(2)问6分,第(3)问8分)解:(1)中,得(为正整数)且,故数列满足“趋势递减数列”的定义,故为“
10、趋势递减数列”.,(为正整数),其中,故中数列不满足“趋势递减数列”的定义,故其不是“趋势递减数列”.4分(2)由数列为“趋势递减数列”,得.5分 若,则,即,也即,故. 此时,所以 故(),满足条件.7分若,则,得;,即,解得,所以.同理可以验证满足条件9分由可得,.10分(3)先证明必要性:用反证法. 假设存在正整数,使得,则令则数列从项开始以后的各项为,故,与是“趋势递减数列”矛盾.14分再证明充分性:由,得15分 因为中的项没有,所以对于任意正整数,.于是(为正整数)所以16分 当时,17分 当时,所以均有故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有.18分普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研 第8页 (共4页)