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1、实数完备性定理的证明及应用学生姓名：XXX学号：20085031072数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：XXX职称：副教授摘 要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的 理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实 数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的 进一步的认识和理解.并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.关键词：完备性；基本定理；等价性Testification and application about Real NumberCompletenessAbstract: Complet
2、eness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understandin
3、g. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学 分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理.在此，我们以实数连续性 为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循
4、环，从而证明等价性，并用实 数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1. 基本定义定义I设s是中的一个数集.若数满足：对一切x e S , W X a ,即又是S的最小上界，则称数7；为数集S的上确界，记作二supS定义2设S是/?中的一个数集.若纟满足：（1）对一切xgS,有兀即是S的下界；（2）对任何0,存在xe5，使得无 有限覆盖定理= 维尔斯特拉斯聚点定理.3.1维尔斯特拉斯聚点定理d柯西收敛准则证明 若对 0, 3 N 0,当 nn W 时,atl -am 0,当n N、时，有卜“-伽1,则alt 14- aN令 则对V n,都有M .从而数列%有界.M = max|。1|02|
5、伽1+ aNx |（1）若色看作点集，是一个有限点集，至少有一项重复出现无穷多次, 就以q为项构成子列，贝叫亦是常数列，必收敛.记贝IJ臥一歹15 5 - +%_oo(2)若色构成无穷点集，由聚点定理%必有一个聚点由聚点定义2,必存在%ud“,且则0”胡斗“一|+|% 剧 确界原理证明 设S为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数在整数，使得九*, q为S的上界，而Aa-a = (ka-l)a不是S的上界,即在af e S ,使得a(ka-l)a.分别取4=丄,斤=1,2,.则对每一个正整数，存在相应的人，使得人为S的 n上界，而不是S的上界，故存在ar e S使得n&-丄.(1)n
6、又对止整数加，几是s的上界.故有心n”结合式得& _ 人” -n同理有九-血 丄，m从而得. , (1 1 I 九一& 丨 14, - 4 0,存在N0,使得当m N时，有肉厂人0,由丄一0 5 n13A- = A-32 2所以久为S的上确界.同理可证S为非空下界数集，则必存在下确界.3.3确界原理= 单调有界定理证明 不妨设色为有上界的递增数列.由确界原理，数列%有上确 界.a = supan.下面证明a就是色的极限.事实上，任给0,按上确界的定义，存在数列劣中某一项乐，使得Vd” 又由匕的递增性，当刃 N时有a-saN an.另一方面，由于a是色的一个上界，故对一切a”都有ana N f
7、时有+这就证得 lima” =a.77 00同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.3.4单调有界定理= 区间套定理证明 由闭区间列%,仇的性质知，a. a2 anbn b2 , 0 = 12 ）； ,?T8n00综上anbfl.最后证明歹是唯一的.设数孑也满足at1bn,（斤=1,2,）；则由 anbn, an 有限覆盖定理证明 用反证法.假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H中有限个开 区间来覆盖,列，将列等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为国0,则如qud0,且 -6/,=再将qQ等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子
8、区间不能 用H中有限个开区间来覆盖，记这个区间为a2,b2f贝叽色厶u,且.h-ab2a2 二 W 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,”它满足色,乞=%,$+J, （h = 1,2,）； 仇一色=爭05 00）, 即，仇是区间套，且其中每一个闭区间都不能用丹中有限个开区间来覆盖 由区间套定理,存在唯一的一点可色也,（日,2,）；由于H是%的一个 开覆盖，故存在开区间（a,0）wH,使gw（a,0）于是，由区间套定理的推论， 当斤充分大时有cin,bn u（Q,0）这表明只须用H中的一个开区间（q,0）来覆盖，与挑选色,仇时的假 设“不能用丹中有限个开区间来覆盖”相矛盾.以而证得
9、必存在属于H的有限个 开区间能覆盖3.6有限覆盖定理=聚点定理证明 若S为/?上的有界无穷点集，则存在M0,使Su-M,M对任意xe,任意 0,记*(坷,)X.,显然H覆盖了 -M,M由有限覆盖定理，存在FT =w -= 1,2上也覆盖了 -M,M即u（形，F）o -M.M zd S /=|由于s是无穷点集，至少有一个,使得“（,町含有s中无穷多个点.则 是S的聚点.4.实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连 续函数性质的应用做一些举例证明.例1证明有界性定理.证明（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对没一点兀引切， 都存在领域Ux-s,
10、)及止数M,使得|/(x)|Mv，xGt/(x;8x) a,h.考虑开区间集H =(/(x;Q.) x Ea,b,显然H是Q的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集覆盖了a.b,且存在正整数 MvM2. ,M&,使得对一切 xwUgGJ a, 有 f（x）Mf,(心1,2,，幻.令M = maxM,i|/(x)| M.这就证得在a,b上有界.例2证明最大最小值定理最大值最小值定理 若函数/在国列上连续，则/在a,列上有最大值与最小 值.证明(应用确界原理)由于已证得/在a,列上有界，故由确界原理，/的值域/()有上确界，记为M以下我们证明:存在兵如,使f) = M倘若不然，对一切xa9b都有/(x) M .令易见函数g在,列上连续，故g在国列上有上界设G是g的一个上界，则从而推得G但这与M为/(a,/?)的上确界(最小上界)和矛盾.所以必存在ea,h,使f = M,即/在列上有最大值.同理可证f在a,b上有最小值.总结本文围绕着解决极限存在性之一中心问题，以聚点定理理为出发点，讨论
