专题八基础知识闭区间上连续函数的几人定理：定理1 （最值定理）若函数= /（X）在闭区间［⑦方］上连续，则（1） 在［⑦甸上至少存在一点使得对于任意xe［a,b］,恒有/（^） > /（%） o（2） 在也上］上至少存在一•点乞，使得对于任意xe［a,b］, 有/（§2）5/（兀）/（$）和/（金）为函数y = /（x）在闭区间0,®上的授大值和授小值定理2 （冇界定理）闭区间上的连续函数必冇界定理3 （介值定理）若/（兀）在⑺"］上连续，则它在⑺"）内能取得介于其最小值和最大值 之间的任何数定理4（零点定理）若/（x）在［a,b］上连续，H./（d）・/（b） v 0,则至少存在一点cw （a,b）,使得 /（c） = 0 o例题1.设函数/（x）在（⑦方）内连续，a0, r2 > 0,试证在（a,b）内至少 存在一点 c,使得 z1/（x1） + z2/（x2） = （r1 +/2）/（c）o证明：令了="（州）+ %2）,下面分两种情形说明：人+》2（1） /（兀1 ） = /（£）时，T =/（兀］）=/（兀2），川取 c = X］（或兀2）w （a,b）,得证。
2） /（西）工/（兀2）时，不妨假设f（x｛）0, t2 >0）故T 二 /［/（Xj + D/O?） !］/（兀2）+ /2/（%2）" 人+『2 斤+4=4+'"心2)=心)人+(2厂二人/(州)+ /2/(兀2)> 人/(兀])+(2/(西)/]+》2 厶+/2亦即f^}) < T < /U2)由题设，函数/(劝在区，兀2】上连续，/(X,) 0 ,则由介值定 理知存在〃(介于坷与兀2乙间)，使得/(〃)= 0,得出矛盾)。
下面分两种情形说明：(1) 若函数兀劝在[讪上恒为正，由最值定理知存在7]e[a,b]f使得/(x) > f(7j),/(〃)为函数/(力在[a,甸上的最小值，且/(/；) > 0 o对于〃w[a,b], \fye[a,b],都有 I /(y) 1= /(.y) > /(/；) =1 /(〃)I，即不存在ye g,使得| f(y) |<£| /•(〃)|,与题设条 件矛盾2) 若函数/(兀)在[⑦切上恒为负，同情形(1)类似，同样可以得出矛盾综上所述，假设不成立，亦即至少存在一点使得/(^) = 0 03. 设/(x)在(一8,+8)上连续，lim /⑴=0,求证：存在§w(-x,+x),使得XT8证明:令 F(x) = f(x) + x ,则lim F(x) = lim[/(x) + x]XT-8 大一>_8r /(x) + x=lim ——XT-s X=limx・[4^ + l]XT_8 JQ=lim x- lim[4^ + l]XT-<» X—>-<» 兀=—OOlim F(x) = lim[/(x) + x]XT+8 XT+oor /(X)+ X=lim兀・ ——XT+8兀r , /(x) =lim x・[—+1]XT+oo 兀=lim x • lim +1],v—>+oo XT+8 X由/(X)在(-00,4-00)上连续知F⑴在(-汽+oo)上亦连续，从而由介值定理知存在兵(―汽+oo),使得 = + &：本题最终要得到的是存在E (-00,4-00),使得/(§) + § = 0,故首先构造新函数F(兀)=/(X)+ X , xe (-oo^+oo),继而讨论新函数F{x)在其定义域(-oo,+oo)的两个端点-co和+ oo处的符号问题(给出的题 设条件只涉及到8)。
4. 设/(对在(一 oo,+oo)上连续，f(f(x)) = x,求证：存在R,使得f© = §证明：令F(x) = /(X)- X ,在R中取一点兀=1,则F(l) = /(1)-1W(l)) = /(/(l))-/(l)= 1-/(1)-(/(D-D= -F(l)下血分两种情形说明：(1)若/(1)-1 = 0,可取§ = 1,得证2 )若 /(I) — 1 H 0 ,则 F(l) • F(/(l)) v 0 ,由 f(x)在(-oo,+oo)上连续知 F(x)在 (_oo,+oo)上亦连续，从而F(x)在［!,/(!)］(或［/(1),1］)上连续由介值定理知存在纟(介 于1和/⑴之间),使得F(^) = 0,亦即/(§) = §注：木题最终要得到的是存在R,使得/(§) = §,故首先构造新函数F(x) = /(x)-x,要想用到题设条件= 首先应选定一个心(可以在实数集中任意选取)，从而得 到一个区间［x0,/(x0)J (或［/(x0),x0D，继而对新函数F(朗在闭区间［x0,/(x0)l (或 ［/(XO),XO］)上应用零点定理，讨论新函数F(Q在其定义区间［xo,/uo)］(或［/(兀0)，心］) 的两个端点兀0和/•(%)处的符号问题。
h — n5. 若/(x)在［d,切上连续，f(a) = f(b),求证：存在 §w(a,b),使/(§) = M + ——) 证明：令F(x) = + 兀w［d,与纟］,贝I」F(a) = f(a) 一 f(a + = /(a) 一F(宁)=/(宁)-/(宁 + 乎)=/(字)-/0) = /(字)-/⑷于是有b + aF(—^―) = -F(a)下面分两种情形说明：(1) 若(字)= o,亦即/(晋)= /«)=/的=/(¥+乎)，可取 § =耳上€ (d,b),得证2(2) 若/(a) —/(幻上)工0,由/(兀)在［a,b］上连续知F(x)在［a,幻上］上连续，且2 2F(士)・F(g)vO,从而由介值定理知存在gw(a,X)u(a,b),使得F(f) = 0,亦 注：本题最终要得到的是存在兵心,使得/(§)=/(§+¥),故首先构造新函数h — ciFO) = /(x) 一 f(x + ——),乙而原函数/(力只在闭区间［a,h］±连续，要想确保新函数也连续，则兀应满足：b — aa< x
和匕处的符号问题和木题不同，例题1不存在定义区2 2间的变动问题(因为例题1中的/(%)在(-汽+oO)上连续)7T6.证明:方程x-2sinx = 0在(一，龙)内恰有一个实根2TT TT证明：令/U)= x-2sinx, 由 / (x) = l-2cosx> 0,心尹)知/⑴TT 在［殳,兀］上严格单调递增，且7T JT JT JTf(-) = — — 2sin- = --2<0, f(乃) = 〃一2sin;r =龙一0>02 2 2 2rr由介值定理知存在c w (―,龙)，使得/(c) = c-2sinc = 0,_且由f(x)的严格单调性知c唯7T 一，从而方程兀一2sinx = 0在(一,龙)内恰有一个实根27•证明：方程lnx = ax + b^多有两个实根(其中为常数，a>0)证明：f(x) = \nx-ax-hf xw(0,+oo),由 f\x) = --a^ f(x)在(0,丄］内严格单 x a调递增，在［丄,+oo)内严格单调递减故方程/(X)= 0亦即\nx = ax^-b至多有两个实根(实 a根的个数完全取决于/(丄)的值)具体情况如下：a(1) 若/(-) > 0 ,有两个实根。
a(2) 若/(-) = 0,有一个实根a(3) 若/(-) < 0,没有实根a注：说明方程存在实根，只需要令出函数/(%),使用零点定理，而如果要进-•步说明方程的实根个数，则要结合函数/（X）的严格单调性对以预见，如果函数/（兀）有“个完整的 严格单调区间，则/（X）= 0至多有〃个实根习题1.设/（兀）在S,b］上连续，且f（a） < a , f（b） > b ,试证在（a,b）内至少存在一点c,使得 /(c) = c o2. 证明：若/*（兀）在［a,方］上连续，且不存在任何兀w ［a,b］，使得/（兀）=0,则.f（x）在［c,b］ 上恒正或恒负3. 证明：方程/ =3兀至少存在一个小于1的正根4. 证明：方程x = as\x\x + b（a > Gyb > 0）至少有一个不大于b + a的正根15. 证明：方程『=一敢2恰有一个实根26. 证明：方程2”二1 + /恰冇三个实根努力就有收获!。