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1、 八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案 第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系 由于引入开方运算，完善了代数的运算平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 p q 的形式；无理数
2、是无限不循环小数，不能写成分数p q 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0p 2有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数 例题求解 若a 、b 满足b a 53+3=7，则S b a 32-的取值范围是 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解
3、，这一事件在数学史上称为第一次数学危机希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab a b+1=0，则b 是一个( ) A 小于0的有理数 B 大于0的有理数 C 小于0的无理数 D 大于0的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式 已知a 、b 是有理数，且0320 91412)121341()2331 (=-+b a ，求a 、b 的值 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组 (1) 已知a 、b 为有理数
4、，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2 1，求a+b 的值 (南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数，表示不大于x 的最大整数，求满足=x+1的整数x 的值(江苏省竞赛题) 第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系 由于引入开方运算，完善了代数的运算平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学
5、习偶次方根、奇次方根的基础 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 p q 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数p q 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0p 2有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数 例题求解 若a 、b 满足b a 53+3=7，则S b a 32-的取值范围是 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间
6、的一切现象都能归结为整数或整数之比但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab a b+1=0，则b 是一个( ) A 小于0的有理数 B 大于0的有理数 C 小于0的无理数 D 大于0的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式 已知a 、b 是有理数，且0320 91412)121341()2331 (=-+b a ，求a 、b 的值 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组 (1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2 1，求a+b 的值 (南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数，表示不大于x 的最大整数，求满足=x+1的整数x 的值(江苏省竞赛题)
