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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二章第二章 线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析 本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的要求出状态方程的解，就很容易得到系统的
2、输出，进而研究系统的性能。性能。本章内容为本章内容为1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解; 2 状态转移矩阵状态转移矩阵;3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解; 4 线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动分析;5线性连续系统方程的离散化线性连续系统方程的离散化; 6 线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析;7 用用MATLAB求解系统方程。求解系统方程。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位
3、生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.1 2.1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法先考察标量齐次微分方程的幂级数解法假设其解为一幂级数假设其解为一幂级数（3）将（将（3）式代入（）式代入（2）式）式这时系统的输入为零这时系统的输入为零病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程等式两边等式两边t 的
4、同次幂的系数相等，因此有的同次幂的系数相等，因此有而而因为因为则解为则解为（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为）的解为（5）将（将（5）式代入（）式代入（1）式）式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程等式两边等式两边t 同次幂的系数相等，因此有同次幂的系数相等，因此有而而记作记作则线性定常系统齐次状态方程（则线性定常系统
5、齐次状态方程（1）的解为）的解为（6）则则（7）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程如果如果则则（8）将（将（8）式代入（）式代入（1）式验证）式验证和和矩阵指数函数矩阵指数函数 又称为又称为状态转移矩阵状态转移矩阵，记作，记作由于系统没有输入向量，由于系统没有输入向量， 是由初始状态是由初始状态 激励的。因此，这激励的。因此，这时的运动称为自由运动。时的运动称为自由运动。 的形态由的形态由 决定，即是由矩阵决定
6、，即是由矩阵A 惟一决定的。惟一决定的。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.2 2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为线性定常系统齐次状态方程的解为或或其几何意义是：系统从初始状态其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，开始，随着时间的推移，由由 转移到转移到 ，再由，再由 转移到转移到 ， 。 的形态完全由的形态完全由 决定。决定。2.2.1 状态转移矩阵的基本性质状态转
7、移矩阵的基本性质1）即即2）即即病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3）可逆性）可逆性即即4）传递性）传递性即即5）当且仅当）当且仅当 时，有时，有病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.2.2 状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法
8、方法方法1 1 根据定义，计算根据定义，计算 方法方法2 2 应用拉普拉斯变换法，计算应用拉普拉斯变换法，计算对上式求拉普拉斯变换，得对上式求拉普拉斯变换，得如果如果 为非奇异为非奇异（9）L LL L（10）由由微分方程解的唯一性微分方程解的唯一性L L病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例2-22-2 线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为求其状态转移矩阵求其状态转移矩阵解于是于是L L病
9、原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程方法方法3 3 应用应用凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理，计算，计算凯莱凯莱-哈密顿定理：哈密顿定理： 矩阵矩阵 A 满足自身的特征方程。满足自身的特征方程。即即根据凯莱根据凯莱-哈密顿定理哈密顿定理（11）例例 用凯莱用凯莱-哈密顿定理计算哈密顿定理计算解解由凯由凯-哈定理：哈定理：所以所以病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不
10、同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理在在线性代数线性代数中，中，凯莱凯莱凯莱凯莱- -哈密顿定理哈密顿定理哈密顿定理哈密顿定理（以数学家（以数学家阿瑟阿瑟 凯莱凯莱与与威廉威廉 卢云卢云 哈密顿哈密顿命名）表明每个命名）表明每个实或复方阵都满足方阵实或复方阵都满足方阵的特征方程式。的特征方程式。设设A A为给定的为给定的n*nn*n矩阵，并设矩阵，并设 I I 为为 n*n n*n 单位矩阵单位矩阵，则，则 A A 的的特征多项式特征多项式定义为：定义为：P(P( )=d
11、et()=det( I-AI-A)=0)=0l l 凯莱凯莱- -哈密顿定理断言：哈密顿定理断言：P(A)=0P(A)=0l l 此定理对布于任何此定理对布于任何交换环交换环上的方阵皆成立。上的方阵皆成立。可以简化高次幂的运算可以简化高次幂的运算 ; ;也是计算也是计算特征向量特征向量的重要工具的重要工具。 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（11）式表明：）式表明： 是是 、 、 、 、 的线性组合的线性组合
12、（12）将（将（11）式代入（）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：）式，不断地进行下去，可以看出： 、 、 、 都是都是 、 、 、 、 的线性组合的线性组合（13）其中，其中， ， 为待定系数。为待定系数。 的计算方法为：的计算方法为：1）A 的特征值互异的特征值互异应用凯应用凯-哈定理，哈定理， 和和 都满足都满足 的特征方程。因此，的特征方程。因此， 也可以也可以满足（满足（13）式。）式。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁
13、殖，引起不同程度的病理生理过程（其中，（其中， ）写成矩阵形式写成矩阵形式（14）于是于是（15）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例2-32-3 线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为用凯用凯-哈定理计算其状态转移矩阵哈定理计算其状态转移矩阵解解即即病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能
14、，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2）A 的特征值相同，均为的特征值相同，均为（16）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3）A 的特征值有重特征值，也
15、有互异特征值时，待定系的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数数 可以根据（可以根据（16）式和（）式和（15）式求得。然后代入）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵）式，求出状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。求系统状态转移矩阵。例例2-42-4 线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为解解应用凯应用凯-哈定理计算哈定理计算A 的特征值为的特征值为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程于是于
16、是状态转移矩阵状态转移矩阵病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程方法方法4 4 通过线性变换，计算通过线性变换，计算因为因为而而因为对角阵的特殊性质，因为对角阵的特殊性质，有：有：1）矩阵）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算可以经过线性变换成为对角阵，计算病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程因此，状态转移矩阵为因此，状态转移矩阵为例例2-52-5 线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为用线性变换方法，计算其状态转移矩阵用线性变换方法，计算其状态转移矩阵解解（17）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机
