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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第九章第九章 系综理论系综理论 前前面面三三章章所所讨讨论论的的最最概概然然分分布布只只能能处处理理近近独独立立粒粒子子系系统统，当当微微观观粒粒子子间间存存在在相相互互作作用用时时, ,粒粒子子除除了了具具有有动动能能外外还还有有相相互互作作用用势势能能，使使得得系系统统中中任任何何一一个个微微观观粒粒子子状状态态的的变变化化都都会会影影响响到到其其他他粒粒子子的的运运动动状状态态。在在这这种种情情况况下下，空空间间不不再再适适用了，我们必须把系统作为一个整体来考虑。用了，我们必须把
2、系统作为一个整体来考虑。 4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 20世纪初，美国物理学家吉布斯（世纪初，美国物理学家吉布斯（J.W.Gibbs）发展了）发展了玻耳兹曼在研究各态历经假说时提出的系综玻耳兹曼在研究各态历经假说时提出的系综(Ensemble)概概念，创立了统计系综方法，并于念，创立了统计系综方法，并于1902年完成了他的科学巨年完成了他的科学巨著统计力学的基本原理。著统计力学的基本原理。 吉布斯的系综理论不仅能处理近独立粒子系统，而且吉布斯的系综理论不仅能处理近独立粒子系统，
3、而且能处理粒子间存在相互作用的系统。并且，只要将系统微能处理粒子间存在相互作用的系统。并且，只要将系统微观运动状态由相空间描述改为量子态描述，系综理论就可观运动状态由相空间描述改为量子态描述，系综理论就可以过渡到量子统计。以过渡到量子统计。 因此，可以认为吉布斯的统计系综理论是适用于任何因此，可以认为吉布斯的统计系综理论是适用于任何宏观物体的、完整的统计理论。宏观物体的、完整的统计理论。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理一、系统微观运动状态的经
4、典描述一、系统微观运动状态的经典描述 1力学描述：力学描述： 设系统由设系统由N个微观粒子所组成，粒子的自由度为个微观粒子所组成，粒子的自由度为r，则系统的自由度为则系统的自由度为f=Nr，哈密顿量为，哈密顿量为:(9.1.1) 当粒子间的相互作用不能忽略时，应将系统作为当粒子间的相互作用不能忽略时，应将系统作为一个整体来考虑。一个整体来考虑。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程如果知道了系统的哈密顿量如果知道了系统的哈密顿量 则由哈密顿正则方程则由哈密顿正则方程(i=1,2,f ) (
5、9.1.2)确定其运动规律。确定其运动规律。 上式意味着系统在某时刻的运动状态由上式意味着系统在某时刻的运动状态由f个广义坐标个广义坐标 和和f个广义动量个广义动量 在该时刻的数在该时刻的数值确定。值确定。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 对于孤立系统，系统的总能量在运动中保持不变，对于孤立系统，系统的总能量在运动中保持不变，哈密顿函数可表示为：哈密顿函数可表示为：(9.1.3)2.几何描述：几何描述： 用用 空间描述系统的微观态时，必须要求组成系统的空间描述系统的微观态时，必须要求
6、组成系统的每个粒子有相同的力学性质（即：相同的广义坐标与相每个粒子有相同的力学性质（即：相同的广义坐标与相同的广义动量），所以研究一般系统运动状态的几何描同的广义动量），所以研究一般系统运动状态的几何描述时，首先必须抛弃述时，首先必须抛弃 空间，建立新的抽象空间。空间，建立新的抽象空间。空间：由体系的全部广义坐标和广义动量为基而构成的空间：由体系的全部广义坐标和广义动量为基而构成的相空间。相空间。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程注意：注意： 空间是人为想象的一个空间是人为想象的一个2
7、f维超越空间，系统在某时维超越空间，系统在某时刻的力学运动状态可用刻的力学运动状态可用空间中的一个点（称为代表点）空间中的一个点（称为代表点）来表示来表示; 系统运动状态随时间的变化则由系统运动状态随时间的变化则由空间空间 中的一条轨线中的一条轨线（也称为相轨道）来表示。（也称为相轨道）来表示。 空空间间中中的的广广义义体体积积称称为为相相体体积积。将将空空间间的的f个个广广义义坐坐标标和和f个个广广义义动动量量简简记记为为q和和p；把把空空间间中中的的体体积积元元记记为为:4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引
8、起不同程度的病理生理过程 d=dqdp=空空间间是是为为了了方方便便而而引引入入的的一一个个思思想想空空间间，和和前前面面介介绍绍过过的的空空间间比比较较，空空间间的的表表示示具具有有普普遍遍性性，即即不不管管组组成成系系统统的的微微观观粒粒子子之之间间是是否否存存在在相相互互作作用用，我我们们都都可可用用空间表示该系统的微观运动状态。空间表示该系统的微观运动状态。 在在空空间间中中，式式(9.1.3)表表示示一一个个（2f1）维维的的曲曲面面，称为能量曲面。称为能量曲面。对于孤立系统对于孤立系统 4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，
9、且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 如果系统的哈密顿函数处于如果系统的哈密顿函数处于E到到E+E范围内，即：范围内，即： EH(q, p)E+E (9.1.4) 则则空间中代表点的轨迹将被限制在式空间中代表点的轨迹将被限制在式(9.1.4)确定确定的能量壳层内。的能量壳层内。 这说明，孤立系统的代表点只能在满足上式约束这说明，孤立系统的代表点只能在满足上式约束的的 空间中的空间中的2f-1维的能量曲面上运动。维的能量曲面上运动。在一般物理问题中，在一般物理问题中，H以及以及 ， 均为单值函数，均为单值函数，故根据式故根据式（9.1.2），），经过相空间任何一点轨道只能有一经过相空
10、间任何一点轨道只能有一条。系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者条。系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。当是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同的轨道系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。运动时，不同的轨道也互不相交。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 设设想想大大量量结结构构完完全全相相同同的的系系统统，各各自自从从其其初初态态独独立
11、立的的沿沿着着正正则则方方程程所所规规定定的的轨轨道道运运动动，这这些些系系统统运运动动状状态态的的代代表点在相空间中形成一个分布。表点在相空间中形成一个分布。二、刘维尔定理二、刘维尔定理表示相空间中的一个体积元。表示相空间中的一个体积元。以以表示在时刻表示在时刻t，运动状态在，运动状态在 内的代表点数，内的代表点数， 称为称为代表点密度代表点密度也叫分布函数。也叫分布函数。以以(9.1.4)4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程将式（将式（9.1.4）对整个相空间积分，得：）对整个相空间
12、积分，得：N是所设想的系统的总数，是不随时间改变的常量。是所设想的系统的总数，是不随时间改变的常量。(9.1.5) 现在考虑代表点密度现在考虑代表点密度 随时间随时间t t的变化，的变化，它遵守所谓的它遵守所谓的刘维尔定理刘维尔定理： 4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 此称为刘维尔定理此称为刘维尔定理, ,它是力学的结果，而非统计的结它是力学的结果，而非统计的结果果( (定理的证明从略定理的证明从略) )。 如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间如果随着一个代表点沿正则方程
13、所确定的轨道在相空间中运动，其相邻的代表点密度是不随时间改变的常数中运动，其相邻的代表点密度是不随时间改变的常数, ,即即: :(9.1.6)4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程9.2 微正则分布微正则分布一、求统计平均值的一般公式一、求统计平均值的一般公式 统计物理学认为，物质的宏观性质是其微观粒子运动统计物理学认为，物质的宏观性质是其微观粒子运动的平均性质，物质的宏观量是相应的微观量对系统各种可的平均性质，物质的宏观量是相应的微观量对系统各种可能微观状态的统计平均值。能微观状态的统计
14、平均值。 现在来讨论如何用统计方法由微观量求得宏观量。在现在来讨论如何用统计方法由微观量求得宏观量。在宏观条件给定的情况下，系统的微观状态是大量的。宏观条件给定的情况下，系统的微观状态是大量的。 因因此此，我我们们不不可可能能确确定定系系统统在在某某一一时时刻刻一一定定处处在在或或者者一一定定不不处处在在某某个个微微观观状状态态，而而只只能能确确定定系系统统在在某某一一时时刻刻处处在在各个微观状态的概率。下面利用相空间来表示这个概率。各个微观状态的概率。下面利用相空间来表示这个概率。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长
15、繁殖，引起不同程度的病理生理过程 以以d= 表示表示空间中的一个体空间中的一个体积元，在时刻积元，在时刻t，系统微观运动状态的代表点出现在该体积，系统微观运动状态的代表点出现在该体积元的概率为：元的概率为：(9.2.1) 在经典理论中，系统可能的微观态在在经典理论中，系统可能的微观态在空间构成一个连空间构成一个连续的区域。续的区域。 上式中上式中（q,p,t）称为分布函数或概率密度，它是单位）称为分布函数或概率密度，它是单位相体积内代表点出现的概率。相体积内代表点出现的概率。（q, p, t）满足归一化条件）满足归一化条件(9.2.2)4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体
16、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 上式表示系统运动状态代表点在上式表示系统运动状态代表点在空间各区域的概率空间各区域的概率总和为总和为1。 设设代代表表点点处处在在相相体体积积元元d范范围围时时，微微观观量量A的的数数值值为为A(q,p)，它在所有可能的微观状态上的平均值为：，它在所有可能的微观状态上的平均值为：（9.2.3） 在在量量子子理理论论中中，系系统统的的微微观观状状态态称称为为量量子子态态。在在给给定条件下，系统的可能微观状态是大量的。定条件下，系统的可能微观状态是大量的。 式（式（9.2.3）是计算统计平均值的一般公式。其中）是计算统计平均值的一般公式。其中便是系统的与微观量便是系统的与微观量A相应的宏观量。相应的宏观量。4/29/2022第九章 系综理论病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 用指标用指标s=1,2,标志系统的各个可能微观态，用标志系统的各个可能微观态，用 表示在表示在t时刻系统处在状态时刻系统处在状态s的概率的概率 。满足归一化
