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1、第五章第五章 插值方法插值方法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第五章第五章 插值方法插值方法l插值的基本概念插值的基本概念lLagrange插值插值l分段低次插值分段低次插值l均差与均差与Newton插值插值lHermite插值插值l三次样条插值三次样条插值病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程5.1 代数插值问题代数插值问题例例. 某地区某年夏季时节间隔某地区某年夏季时节间隔 30 天的日出日落时天的日出日落时间为间为 5月月1日日 5月月31
2、日日 6月月30日日日出日出 5：51 5：17 5：10日落日落 19：04 19：38 19：50插值插值：研究用简单函数为各种离散数据建立连续：研究用简单函数为各种离散数据建立连续数学模型的方法。数学模型的方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程日照时间的变化设为日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2,求出求出a0，a1，a2，即可得到，即可得到5、6月份的日照时月份的日照时间的变化规律。间的变化规律。根据三组数据根据三组数据:(1, 15.2167)， (31, 14.35)， (61, 1
3、4.6667)导出关于导出关于a0，a1，a2的线性方程组的线性方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义定义已知函数已知函数已知函数已知函数y=f(x)在在在在a,b有定义，且已知它在有定义，且已知它在有定义，且已知它在有定义，且已知它在n+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点a x0 x1xnb上的函数值上的函数值上的函数值上的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1) ,yn=f(xn)，若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过若存在一个次数不超过n n次的多项式次的多项式次的多项式次
4、的多项式 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + + anxn满足条件满足条件满足条件满足条件 Pn (xk)= yk (k = 0,1,n)则称则称则称则称Pn (x)为为为为f f( (x x) )的的的的n n次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。点点点点x x0 0, ,x x1 1,x xn n称插值节点，称插值节点，称插值节点，称插值节点， f f( (x x) )为被插值函数。为被插值函数。为被插值函数。为被插值函数。 a a, ,b b 称称称称插值区间，点插值区间，点插值区间，点插值区间，点x x称插值点。称插值点。称插值点。称插值点。插值点在插值
5、区间内的叫插值点在插值区间内的叫插值点在插值区间内的叫插值点在插值区间内的叫内插内插内插内插，否则叫，否则叫，否则叫，否则叫外插外插外插外插。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设设设设 P Pn n ( (x x)=)=a a0 0 + + a a1 1x x + + a a2 2x x2 2 + + + + a an nx xn n是是是是y y= =f f( (x x) )在在在在 a a, ,b b 上的上的上的上的n n+1+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点x x0 0, ,x x1 1,x xn n
6、的插值多项的插值多项的插值多项的插值多项式，则求式，则求式，则求式，则求P Pn n ( (x x) )问题归结为求系数问题归结为求系数问题归结为求系数问题归结为求系数a a0 0, ,a a1 1,a an n。定理定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。次插值问题的解是存在而且唯一的。证明：证明：由插值条件：由插值条件：由插值条件：由插值条件： P Pn n ( (x xk k)= )= y yk k ( (k k = 0,1, = 0,1,n n) )得关于得关于得关于得关于a a0 0, ,a a1 1,a an n的的的的n n+1+1阶线性方程组阶线性方程组阶线性方程组阶线性方程组
7、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故故Pn (x)存在且唯一。存在且唯一。因因故上式不为故上式不为0。据据Cramer法则，方程组解存在且唯一。法则，方程组解存在且唯一。其系数行列式是其系数行列式是Vandermonde行列式行列式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程给定插值节点给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性插值多项式求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足，使满足: L1(x0)=y0 , L
8、1(x1)=y1.5.2 Lagrange插值插值一、线性插值与抛物插值一、线性插值与抛物插值1. 线性插值：线性插值：n=1情形情形y= L1 (x)的几何意义就是过点的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的直线。的直线。L1 (x)的表达式：的表达式：点斜式点斜式:两点式两点式:病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由两点式可以看出，由两点式可以看出， L1 (x)是由两个线性函数是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即。即显然，显然， l0 (x)及及l1
9、 (x)也是线性插值多项式，在节也是线性插值多项式，在节点点x0,x1上满足条件：上满足条件：l0(x0)=1 , l0(x1)=0.l1(x0)=0 , l1(x1)=1.称称l0 (x)及及l1 (x)为线性插值基函数。为线性插值基函数。(j,k=0,1)即即病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0.l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0.l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1.2. 抛物插值：抛物插值：n=2情形情形
10、假定插值节点为假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式求二次插值多项式 L2 (x)，使使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)y= L2 (x)的的几何意义几何意义就是过就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ，(x2, y2)三点的抛物线。三点的抛物线。采用采用基函数方法基函数方法，设，设L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2此时基函数此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数，且在节点是二次函数，且在节点上满足：上满足：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程满
11、足上式的插值基函数很容易求出。如求满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x), 因因x1, x2 为其零点，故可表为为其零点，故可表为故故即即(j,k=0,1,2)其中其中A为待定系数，由为待定系数，由l0(x0)=1 , 得得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程显然显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件满足条件L2(xj)=yj (j=0,1,2)同理同理将将l0(x), l1(x), l2(x)代入得代入得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位
12、生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程取取x0=4,y0=2，x1=9, y1=3 ，x2=16, y2=4.取取x0=4, x1=9, x2=16例例 已知已知求求解解（1）线性插值：线性插值： 取取x0=4, x1=9（2）抛物插值：抛物插值：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设有设有n+1个互异节点个互异节点x0 x1xn，且，且yi=f(xi)(i=0,1,2,n)构造构造Ln (x)，使，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,n)二、二、Lagrange插值多项式插值多项式定义定义 若若n次多项式次
13、多项式lj(x) (j = 0,1,n)在在n+1个节个节点点x0 x1xn上满足条件上满足条件(j,k=0,1,n)则称这则称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x), l1(x), ln(x)为为节点节点x0 ,x1,xn上的上的n次次插值基函数插值基函数。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由由n=1,2时的讨论可得时的讨论可得(k = 0,1,2,n)或记为或记为(k=0,1,2,n)故满足插值条件的多项式为故满足插值条件的多项式为称称Lagrange插值多项式插值多项式。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机
14、体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理 设设设设 f f( (x x) )在在在在 a a, ,b b 上具有上具有上具有上具有n n阶连续导数阶连续导数阶连续导数阶连续导数, , 且且且且f f ( (n n+1)+1)( (x x) ) 存在存在存在存在, ,节点节点节点节点a a x x0 0 x x1 1时时Ln在在-5,5上不收敛。上不收敛。Runge证明了，存在一个常数证明了，存在一个常数c3.63，使得当，使得当|x|c时，时，lim(Ln(x)=f(x) (n)；而当；而当 |x|c时，时，Ln(x)发散。发散。下图给出当下图给出当n=1
15、0时，时，y=L10(x)及及f(x)=1/(1+x2)在在-5,5上的图形。上的图形。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程取取xk=-5+k 计算计算: f(xk) (k=0,1,10) 构造构造L10(x).取取:tk=-5+0.05k (k=0,1,200),计算计算: L10(tk)L10(t) f(t) f(x)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、分段线性一、分段线性Lagrange插值插值构造构造Lagrange线性插值线性插值1.
16、 分段线性插值的构造分段线性插值的构造设插值节点为设插值节点为xi，函数值为，函数值为yi，i=0,1,2,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，任取两个相邻的节点任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区，形成一个插值区间间xk，xk+1,k=0,1,2,n-1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程显然显然我们称由上式构成的插值多项式我们称由上式构成的插值多项式L1(x)为为分段线性分段线性Lagrange插值多项式插值多项式。i=0,1,2,n病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程内插外插外插病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：故也称折线插值，如右图：但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，但曲线的光滑性较差，且且且且在节点处有尖点。在节点处有尖点。 如果增加节
