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1、 考研数学备考之基本方法及运算一、注意对考研数学学问中根本概念的理解与把握,正确娴熟运用根本方法及根本运算。线性代数的概念许多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,根底解系与通解,解的构造与解空间,特征值与特征向量,相像与相像对角化,二次型的标准形与标准形,正定,合同变换与合同矩阵。往年常有考生没有精确把握住概念的内涵,也没有留意相关概念之间的区分与联系,导致做题时消失错误。例如,矩阵A=(1,2,m)与B=(1,2,m)等价,意味着经过初等变换
2、可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组1,2,m与1,2,m等价,说明这两个向量组可以相互线性表出,因而它们有一样的秩,但是向量组有一样的秩时,并不能保证它们必能相互线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组1,2,m与1,2,m等价,可知矩阵A=(1,2,m)与B=(1,2,m)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否一样,而A与B相像是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有一样的特征值,假如特征值一样可知正、负惯性指数一样,但正负惯性指数一样时,并不能保证特征值一样,因此,实对称矩阵ABAB,即相像是合同的充分条件。线性代数中运算法则多,应整理清晰不要混淆,根本运算与根本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求根底解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式根底解系法),推断与求相像对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。