浅析多元函数的连续及可微摘 要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函 数连续、可微之间的关系也都非常清楚・而多元函数是一元函数的推广，它具冇比一元 函数更复杂的性质•就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数 的两个偏导数都连续时，函数可微•首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个 偏导数连续时，函数可微•然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某 个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关 系是复杂的•本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主 要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系•在了解 木文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微；偏导数；连续目录1引言 12多元函数的连续、偏导数及可微 12.1多元函数的连续性 12.2多元函数的偏导数 32.3多元函数的可微性 42.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 72.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 72.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 82.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 103小结 11参考文献 12致谢辞 131绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数y = /（兀）在心极限存在、连续、 可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一淀可微，连 续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质•简单表示为：可微=＞连续=＞极限存 在（且不可逆）•在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等 价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系•但对于二元函数的可微性，是可以 证明的•从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数z = f（x,y）在点 0（）（x（），儿）可微，则函数/（兀,y）在点p（）（兀（），儿）连续，偏导存在；若二元函数 z = f（x,y）的两个偏导数兀（x,y）与/；（x,y）在点几（勺，儿）连续，则函数/（兀，刃 在几（兀°，儿）可微•因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴 涵关系：偏导连续=＞可微=＞（连续，偏导存在）；它们反方向结论不成立•当然，其可逆 也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道,但也有某些差杲,间的相互关系吋,多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质,而且情况也更复杂一些•在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之需要注意许多方面的问题•下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性,进而到它们Z间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续•但对 于二元函数f（x,y）來说，即使它在某点几（弘儿）既存在关于x的偏导数人（忑,儿），又 存在关于y的偏导数厶（兀（）,儿），/（兀,y）也未必在p0U（）, v0）连续.甚至，即使在几（兀（）,九） 的某邻域〃（Po）存在偏导数 fx（x ）（或 fy（x ,y ））,而S.fx（x ,y ）（或 fy（x ））在 点pQ（xQ,yQ）连续，也不能保证f（x,y）在必区,％）连续•如函数.2 1 nsin x +— , yHOvf（x,y） = < ' •丿0, y = 0关于具体验算步骤不难得出•不过，我们却有如下的定理.定理1设函数/（x, y）在点卩0（兀0，儿）的某邻域U（Po）内有定义,若f （x0,y ）作为y 的一元函数在点y二儿连续，fx（x ,y ）在U（p.）内有界,贝〃（兀,刃在点PoOWo）连续・证明任取Oo+ x, y0 + y） wU（pQ ,贝II/（兀。
兀,儿+ y）-/Cwo）=/（兀 兀,儿+ y） — /O（）,y（）+ 刃+ /（兀（）,儿+ 刃一/（兀（）,刃）） ⑴由于£（兀，歹）在t/（Po）存在,故对于取定的儿+ y, /（x ,>o+ y）作为x的一元函数 在以心和Xo+ X为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange中值定 理，存在处（0,1）,使/（兀o+ 兀,儿+ ）'）一/（勺，儿+ 刃=£So + & x，）'o+ 刃兀将它代入（1）式得f（A）+ 兀,儿+ ）'）— /（%，儿）= /©）+ 〃 兀，）‘（）+ y）兀+/（兀（）」）+ y）-/U（）o?（）） ⑵由于（Xo + O x,）b+ y） wU（p（J ,故人 Oo + O 兀,儿+ 丁）有界，因而当（X, y）T（0,0） 时,有人（兀（）+ & 兀,y（）+ y） xtO又，据定理的条件知，f（x0,y）在y = y（）连续，故当（x, y）T（0,0）时,又有/*（兀0，儿+刃一代兀0，儿）—0所以，由（2）知，有lim /（x0 + x,y0 + y）-/（兀（）,y（）） =0xtOy->0这说明f（x, y）在（x0,y0）连续.同理可证如下的定理定理2设函数/（兀,刃在点几（勺,儿）的某邻域（7（几）有定义，fy（x,y）在（7（几）内有界，f （x,y（））作为x的一元函数在点尤=无连续，贝iJ/Cr,y）在点p（）O（）,y（））连续.定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理3⑸设函数/（西,勺,…心）在点几（£，€，•••，€）的某邻域〃（几）内有定义, .九（心心…暫）在〃（"（））有界（z e {1,2,• • •/?}）,/（%,,-• •%,_!,xf,x,.+1,---xz,）作为 和…兀•_】，和，的n-1元函数在点（£,…兀二,站,…£）连续，则/（兀］，兀2,…舛）在 点球,…工）连续.证明任取（才+召,球+兀2,…,f + *•••，€+旺J wU（Pq）,贝!J/（”）+ X］,…,f + 兀,•••，€+ £）-/（彳,…瑕…兀；：）= f（xi + 兀］，…,兀；+ 无,+ £）-.f（f + £,・・•，€_]+ 兀i，f,绘i+ 和…工 + £）+/（彳+ 西,…，绘］+ 兀「•_］,£,站 + 兀+| …由于厶（m，…,兀“）在u（几）内存在，故对于固定的£ + x.（jg{i,2,•••,/?}\{/}）, 于（兀］°+兀［，…，年1+兀•_［,兀•，绘［+召+1，£）作为兀•的一元函数在以才和X.为端点的闭区间上可导，从而据i元微分学中的Lagrange中值定理，存在&w（O,l）,/（彳+旺,…绘i+壬一1，€+召总 +兀+i，•••，€+ %）-/（彳+兀［,・••€_［+仏,才,墙+和，…,€+ xn）二厶（才+兀1，…必+兀T，f + &兀•，站+兀+i，•••，€+ £）舛由于(£+ 兀],••£[]+ X,._),xf + 0 兀易 + 兀+1，•••，€+ Xn) et/(p0)厶（f +旺,…绘1+兀1,才+&兀,€+1+齐+］,•••,€+百）有界因而,当（心…，兀I，壬+1，…，£）T（0,・・・,0）时,厶(彳+ 兀|,•••€_]+ 兀•_],£ + & 兀•，址i+ 兀+i，•••，€+ xn) x.->0.又，据定理的条件知，/（“…也,#,兀+i，…,£）作为舛,・点（州,・・・兀_］,址］,・・・,尤）连续，故当（兀］,…，兀_|,兀，兀+］,•••, £）-> （0,0,•••（））时，有/ （才+兀］，…绘］+兀T，才兀］+兀Z…工+暫）-/X兀；，…站，才疋1，…工）~>0所以，itl （3）知,当（兀_1，xp 兀+i，…，£）T（0,0,•••（））时,有/（”）+ 兀 1，…电 + 石_1，彳 + xi^xM + 兀+1，…工 + £）—/（兀；1 …圮,玖1，…，€） T。
这说明/（心・・・心1必“”・・，£）在点几（粘…已丛y…工）连续. 证毕.2. 2多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有：f；/（xo,yo）= fy：（^yo）此式成立的条件 为：偏导数梯和以在（勺，儿）都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4若函数f（x,y）在〃0（无0，儿）的某邻域内偏导数片，人及心存在，且以在Po对y连续，则偏导数f：在Po存在，且、fg yQ）=瑣（兀0,儿）证明不妨设〃（）（兀0，旳）的邻域为：”（卩0）= ｛（/,刃|"〃（兀0,5）,"°00）｝又设x在兀0有增量兀（兀工0,兀°+ xe t/（x0,^）） , y在儿有增量y ( yHO，Vo+ y Gt/(y0, J)),则要证极限你小）=lim 认）dZ） （1）・ y y->0 y存在且值为以g,y（））・9T因为+在［/（几）存在，所以+（心,儿+刃“込/区+兀儿+刃一/区小+刃20 X及 f；（X％）= lim兀儿）一/（兀（）」））”T° X都存在，将其代入（1）式右端得y//（x y）= lim lim ［/（兀 兀，儿+ ）'）— /（兀，儿 + 刃］一［/（兀。
兀，儿）一/（兀0，儿）］（2） Q v->0 xtO y X作辅助函数 0（兀,y） = / （兀+ X, y） - f （兀,y）因为A在"几）存在，所以处（兀刃=彳（兀+ x,y）-f；（x,y）在〃（几）存在，故对函数/Oo，〉'），在以儿和儿+ y为端点的区间上应用Lagrange中值定理,得呱，儿 + 刃 一 0（兀儿）=叭 0（），凡+° y） y （° v & < 1）而由（p（x,y）的构造可知,上式即［/Uo+ So+ 刃一/（兀o』o+ ）'）］-［/（%+ 兀，儿）一/（兀0，儿）］= ［/y（xo + 兀，）‘o + & y）一彳（兀（），儿 + &）■）］ y （Ov0vi）将其代入（2）式右端得fy （^）+兀,儿+〃刃一彳（兀（），儿+ &刃］yy兀r r /（（Xo+ x，）b + 〃 刃一咒（兀0，儿+〃 ）0 （ “、=lim lim — ; （ y h 0）尸0 x->0又因为在〃（几）存在，所以jitOA（x（）+ 兀,y（）+ & y） — /（（%』（）+〃 y）二厶仏o，）b+〃 y）（厶?在几对y连续）fxy U0 ^O）= 1叫以（兀0，儿 + & J）= fyx （兀0'）（）） 定理得证.2.3多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性 条件常常不满足，或不易判断•熟知函数在点几可微的必要条件是各个偏导数在几处 存在•如果函数z = /（%,刃在P。
处的全增量可表示为:z二A x+B y+o（Q）则常数A与B—定为A=/r （/70） B= fY （P（））且函数在人处可微•于是验证函数可微性的一个方法是检验极限:lim Z-人（几）一人（几）V是否等于零，然而这先要求偏导数 0TO pA二人（几）和B二.人（心）・有无可能不求偏导数，而设法判断可微性？(x2 + y2)sin考虑函数Z=（x,y 工0,0）在（0, 0）处的可微性.0, (3 = 0,0)由 Z = r（兀尸+（刃2]sin^^ 知L 」J（宀卅吹子咽J（严（皿料（J（y厂能否判定此函数在（可微?事实上，上式极限等价于Z =（）（p）或写成Z = 0 X + 0。