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1、2019版高中数学 专题10 解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练 新人教A版选修1-1一、选择题1【四川省成都外国语学校2017-2018学年高一上学期期中】若函数有零点,则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两
2、个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .2【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质3【
3、湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，。函数在单调递增，在上恒成立，即在上恒成立。令，则，当时， 单调递增，当时， 单调递减。选C。点睛：函数的单调性与导函数的关系（1）若在内，则在上单调递增（减）（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解4【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时， ，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5
4、【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B二、解答题6【上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考】已知函数；（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；【答案】（1）；（2）不存在；【解析】试题分析：（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在.7【安徽省
5、阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟】已知函数 为常数， .（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.所以在上单调递增，所以问题等价于对任意，不等式成立设，则当时，所以在区间上单调递减，此时所以不可
6、能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.8【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数，其中为实数若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；【答案】【解析】试题分析： 在
7、上是单调减函数等价于在上恒成立，利用分离参数可得的范围，对进行求导， ，将导函数的零点和1进行比较，可分为和两种情形，通过导数判断单调性.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.9【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明： .【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】
8、试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得， 时， 在上是增函数，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.（2）由（1）知， 时， 不可能成立；若， 恒成立， ，得综上， .（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即令，得，即 ，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造
9、合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.10【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】已知函数.（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导在x0上恒成立即可（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题， ， ， ，得则.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先
10、将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知函数，函数.（）求函数的单调区间；（）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（）若，求证不等式.【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.（） 即在上恒成立 设，考虑到，在上为增函数， ， 当时， ， 在上为增函数， 恒成立 当时， ， 在上为增函数，在上， ， 递减，这时不合题意， 综上所述， 点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般
11、是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。12【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知函数， （）求函数的单调区间；（）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.【答案】（）见解析；（） .【解析】试题分析：(1)求导，对k分类讨论，得到函数的单调区间；（2）函数在区间内单调递减，即不等式在在上成立，利用二次函数的图象与性质，易得的取值范围.试题解析：（）函数的定义域为.,（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函
12、数；令，解得，此时函数为单调递减函数. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为， ,单调递减区间为.（），因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.设，则即解得.13【江西省南昌市南昌县莲塘一中2018届直升班周末练试卷】已知函数，其中.（1）设是的导函数，求函数的极值；（2）是否存在常数，使得时， 恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）.【解析】试题分析：（1）求导，求得，（ ）求导，根据导数与函数单调性的关系，
13、即可求得函数的极值；（2）由（1）可知：必然存在，使得在 单增， 单减，且，求得的表达式，存在使得，代入即可求得，即可求得的值 将式带入知： 得到 ，从而. 点睛：本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，任意时， 恒成立，且有唯一解，转化为找实数 使得 .14【四川省宜宾市高2018届高三（上）半期】已知函数的图象经过点，且在取得极值（I）求实数的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1) 的图象经过点， ;即,解方程组得出a,b的值;(2)由题意可得, ,即和是函数的极值点, 函数在区间上不单调
14、,则解出m的范围即可.（2）由得： 令 当当 函数在区间上不单调 15【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.（1）若有三个极值点，求的取值范围；（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明： .【答案】(1) 的取值范围为；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题. 而时， ， 时， ，要有两根，只需，由 ，又由，反之，若且时，则， 的两根中，一个大于，另一个小于.在定义域中，连同， 共有三个相异实根，且在三根的左右， 正负异号，它们是的三个极值点.综上， 的取值范围为.只需证明 ，显然成立.下证： ， ， ， ，先证： ， ， .令， ， ， ，在上单增，在上单增，在上单增，即证.要证： ， .只需证， ， 而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点。第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围。16【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围【答案】（1） 的增区间为，无减区间；（2）【解析】试题分析：（1）给定函数表达式研究
