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1、三角形全等之类比探究(讲义)知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形(或由 简单情形到复杂情形)逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常 以儿何综合题为主.2. 解决类比探究问题的一般方法：(1) 根据题干条件，结合先解决第一问；(2) 用解决的方法类比解决下一问，整体框架照搬.整体框架照搬包括, ,3. 常见儿何特征及做法：见中点，.精讲精练1. 在厶ABC中，ZACB二90。，AC=BC,肓线MN经过点C, AD丄MN予D, BE丄 MN于 E.(1) 当直线MN绕点C旋传到图1的位置时， 求证：HADC竺5CEB；DE=AD+BE(2) 当直线MN
2、绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE(3) 当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写岀DE, AD, BE之间的数 量关系.2. 如图1,四边形ABCD是正方形，AB二BC, ZB=ZBCD=90f 点E是边BC的中点，ZAEF=90。, EF交止方形外角ZDCG的平分线CF于点F(1) 求证：AE=EF (提示：在AB上截取BH=BE,连接HE,构造全等三角形， 经过推理使问题得到解决).(2) 如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B, C外) 的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？说明理由.(3) 如图3,点E是BC的延长线上
3、(除C点外)的任意一点，其他条件不变， 结论“AE二EF”是否成立？说明理由.3. 以AABC的边AB, AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三 角形ACD, ZBAE=ZCAD=90f AB=AEf AC=AD, M是BC中点，连接AM, DE.(1) 如图1,在厶ABC中，当ZBAC=90时，求AM与DE的数量关系和位置 关系.(2) 如图2,当ABC为一般三角形时，(1)中的结论是否成立，并说明 理由.(3) 如图3,若以AABC的边AB, AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，并说明 理由.4. (1)如图 1
4、,已知ZMAN日20。, 4C平分ZMAN, ZABC=ZADC=90,则能得到如下两个结论：DC=BC； AD+AB=AC.请你证明结论.(2) 如图2,把(1)中的条件“ ZABC=ZADC=90oV改为,ZABC+ZADC=180o， 其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由.(3) 如图3,如果D在AM的反向延长线上，把(1)中的条件“ ZABC二上ADC=90改为“ ZABC=ZADC9其他条件不变，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论.【参考答案】知识点睛：解决类比探究问题的一般方法：（1）根据
5、题干条件，结合分支条件先解决第一问;（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问,整体框架照搬. 整体框架照搬包括照搬字母,照搬辅助线,照搬思路.常见儿何特征及做法：见中点，考虑倍长中线精讲精练1. 证明：（1）如图，AB ZACB=90 AZ1+Z2=9O 9：AD 丄 MM BEL MN ZADC=ZCEB=90Q Z3+Z2=90。AZ1=Z3在ADC和CEB中ZADC = ZCEB Z1 = Z3AC = CB:.ADC9ACEB(AAS) :.AD=CEf DC=EB :.DE二CE+DC=AD+BE(2)如图，AZ1 + Z2=9O.AD丄MN, BE丄MN :.ZADC二 ZCEB
6、=90。:.ZCBE+Z 2=90:.Z = ZCBE 在ADC和ACEB中ZADC = ZCEB Z1 = ZCBEAC = CB A ADC A CEB( A AS):.AD=CE, DC=EB:.DE=CE-DC二AD-BE(3) DE=BE-AD,理由如下: 如图，NI ZACB=90AZ1 + Z2=9OAD丄MN, BE丄MN ZADC=ZCEB=90。Z3+Z2=90。AZ1 = Z3在ADC和ACEB中ZADC = ZCEB Z1 = Z3AC = CB:.ADC9ACEB(AAS):.AD=CE, DC=EB:.DE=DCCE=BEAD2. 解：(1) AE二EF,理由如下：
7、 如图，在AB h截取BH=EE,连接HE.ADB E C GAB=BC:.AH=EC ZB二 90。Z1 = Z2=45。 ZAHE=35 ZBCD=90:.ZDCG=90TCF 平分 ZDCG:.ZGCF=45A ZECF= 135 ZAHE=ZECFV ZAEF=90, ZB=90A ZAEfi+Z 3=90, ZAEB+Z 4=90AZ3=Z4在4HE和ZiECF中Z4 = Z3 AH = ECZAHE = ZECF:.ZHE3 ECF(ASA):.AE=EF(2) AE=EF仍成立，理由如下： 如图，在上截取BH二BE,连接HE.ADBEC GAB=BC:.AH=EC ZB=90AZ
8、1 = Z2=45 ZAHE=135。. ZBCD=90ZDCG=90TCF 平分 ZDCG ZGCF=45A ZECF=135 ZAHE=ZECFV ZAEF=90, ZB=90。A ZAB+Z3=90, ZAE5+Z4=90AZ3=Z4在和ZiECF中Z4 = Z3AH = ECZAHE = ZECF:.AAWEAECF(ASA):.AE=EF(3) AE=EF仍成立，理由如下：如图，延长BA到H,使BH二BE,连接HE.AB=BC:.AH=EC. ZB=90:.ZH=45。I ZBCD=90 ZDCG=90TCF 平分 ZDCGAZ 1=45ZH=Z1V ZAEF=909 ZB二90。A
9、 ZAB+Z3=90, ZAEB+Z2=90Z2=Z3VZ/4E+Z2=180, ZCEF+Z3=180:.ZHAE=ZCEF在和 AECF 中ZH = ZAH = ECZHAE = ZCEF:.AA/AECF(ASA):.AE=EF3. 解：(1) DE=2AM, AM丄DE,理由如下：如图，延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长AM交DE于G:.AF=2AMM是BC中点 BM=CM在BMF和CM4中BM = CM=90:.ZDAE+ZBAC=SO:.ZFBA=ZDAE*：AC=AD:BF=AD在FBA和中BF = AD ZFBA = ZDAEAB = EAFB4 竺D4E(SAS):A
10、F=ED, Z5=Z6:.DE=2AM ZBAE=90Z5+Z7=90。Z6+Z7=90。ZEGA=90即 AML DE(2) (1)中的结论成立，理由如下：如图，延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长MA交DE于GF:.AF=2AMM是3C中点:.BM=CM在BMF和CM4中BM = CM Z1 = Z2MF = MA MMF 空CMA(S AS)FB=AC, Z3=Z4:.BF/AC:.ZFBA+ZBAC=18O ZBAE=ZCAD=90:.ZDAE+ZBAC=80 ZFBA二 ZDAE*：AC=AD:.BF=AD在FBA和中BF = AD ZFBA = ZDAEAB = EA竺DAE
11、(SAS):.AF=ED, Z5=Z6 DE=2AM ZBAE=90Z5+Z7=90。Z6+Z7=90。ZEGA=90即AM丄DE(3) (1)中的结论成立，理由如下：如图，延长AM到F,使MF二交DE于G,连接BF.:.AF=2AMM是BC中点:.BM=CM在BMF和中BM = CM ZBMF = ZCMAMF = MA:.BMF竺CMA(SAS)FB=AC, ZFBM=ZACM:.BF/AC:.ZFBA+ZBAC=SO ZBAE=ZCAD=90ZBAC=Z BAE+ Z CAD ZDAE:.ZDAE+ZBAC=80 ZFBA=ZDAE*：AC=AD:.BF=AD在FBA和中BF = AD
12、ZFBA = ZDAEAB = EAFB4 竺DAE(SAS):AF=ED, ZBAF二 ZAED DE=2AM ZBAE=90 ZBAF+ZEAF=90:.ZAED+ZEAF=9Q:.ZEGA=90即AM丄DE4. (1)证明：如图，在BN上截取BE二AD.A B E n图1.AC 平分ZDAE, ZMAN= 2QAZ1=Z2=6O在CD4和CB4中ZCDA = ZCBA Z1 = Z2CA = CAAACZ)AACBA(AAS):DC=BC, AD=AB在0场和厶cbe +DC = BC ZCDA = ZCBEAD = EB:./XCDA/XCBE (SAS):.AC=ECI Z2=60:
13、.AC=AE二BE十AB=AD+AB(2)成立，证明如下：如图，过C作CG.LAM于G, CF丄AN于F,在上截取BE=AD.图2V CGA.AM, CF-LAN:.ZCGD = ZCFBTAC 平分ZDAE, ZMAN=120Z1 二Z2=60。，CG=CF ZABC+ZADC二 180。ZCOG+ZADC= 180ZABC+ZEBC=ISQ： ZCDG二ZCBF, ZADC=ZEBC 在ACGD和ACFB中ZCDG = ZCBF ZCGD = ZCFBCG = CFAACGDACFB (AAS)CD=CB在和ACBE中CD = CB ZADC = ZEBCAD = EB:./CDA/CBE (SAS)CA=EC. Z2=60:.AC=AE二BE+AB=AD+AB(3)成立；不成立，AD+AC=AB
