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1、 第第1 1章章 电磁现象的普遍规律电磁现象的普遍规律1 2 电流和磁场 本讲主要内容 电荷守恒定律电荷守恒定律 安培定律安培定律 毕奥毕奥- -莎伐尔莎伐尔(Biot(Biot- -Savart)Savart)定律定律 磁场的散度磁场的散度 磁场的旋度磁场的旋度 2 1.电荷守恒定律 导线上的电流通常用通过导线截面的总电导线上的电流通常用通过导线截面的总电流强度流强度 I 来描述来描述。 通常我们不但要知道通常我们不但要知道总电流总电流，而且要知道而且要知道电流在导体内是电流在导体内是怎样分布怎样分布的的。 例如：直流电电流在截面上的分布例如：直流电电流在截面上的分布 高频交流电电流在截面上
2、的分布高频交流电电流在截面上的分布。 需要引入电流密度来描述电流的分布情况需要引入电流密度来描述电流的分布情况 如图如图1-4，设设dS为某曲面上的一个面元为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流方向有夹角它与该点上的电流方向有夹角。 3 电流密度电流密度J J 的定义：它的定义：它的方向沿着该点上的电的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位单位时间垂直通过单位面积的电量。面积的电量。从而通过从而通过面元面元dS 的电流的电流dI 为：为： 通过任一曲面通过任一曲面S 的总电的总电流强度流强度I I为为: : JcosddSd SIJSdIJS4 如果电流
3、由一种运动带电粒子构成，设带如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为电粒子的电荷密度为，平均速度为，平均速度为，则电流密度为：则电流密度为： （2.32.3a a） 单位时间单位时间, ,单位面积单位面积 ( (单位时间内，此体积单位时间内，此体积 内的电荷均能通过内的电荷均能通过dS) ) vJv t dsVv v 5 如果有几种带电粒子，其电荷密度分别如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为为i i，平均速度为，平均速度为i i，有，有 设每种带电粒子的密度为设每种带电粒子的密度为n ni i, ,每个带电粒每个带电粒子的电量为子的电量为q qi i，平均速度为，平均速度为i i
4、，则电流，则电流密度为密度为 iiivJiiiin q vJ6 物体所带的电荷是构成物体的粒子的一个物体所带的电荷是构成物体的粒子的一个基本属性（例如：电子、质子等）基本属性（例如：电子、质子等） 。 不论发生任何变化过程，如化学反应、原不论发生任何变化过程，如化学反应、原子核反应甚至粒子的转化，一个系统的子核反应甚至粒子的转化，一个系统的总总电荷严格保持不变电荷严格保持不变-目前为止人们所知道目前为止人们所知道的的自然界精确规律之一自然界精确规律之一。 这就是：电荷守恒定律这就是：电荷守恒定律 7 电荷守恒定律在数学上用电荷守恒定律在数学上用连续方程连续方程表示。表示。 考虑空间中一个确定区
5、域考虑空间中一个确定区域V，其边界，其边界为闭合曲面为闭合曲面S。当物质运动时，可能有电当物质运动时，可能有电荷进入或流出该区域。但是荷进入或流出该区域。但是由于电荷不由于电荷不可能产生或消灭，如果有电荷从该区域可能产生或消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域流出的话，区域V V 内的电荷必然减小内的电荷必然减小。 8 通过界面流出的总电流应该等于通过界面流出的总电流应该等于V V 内的内的电荷减小率电荷减小率 （2.4） 这是这是电荷守恒定律的积分形式。电荷守恒定律的积分形式。 应用数学定理把面积分变为体积分应用数学定理把面积分变为体积分 SVddVt JSSddVJSJ9 由积分元由积分元
6、dV dV 的任意性，可得微分形式的任意性，可得微分形式 0tJ()0VdVtJ上式称为上式称为电流连续性方程电流连续性方程， 它是：它是：电荷守恒定律的微分形式电荷守恒定律的微分形式。 10 如果式如果式 SVddVt JS中的中的V是是全空间全空间，S为无穷远界面，为无穷远界面， 因为：因为： S上没有电流流出，上没有电流流出， 所以：（所以：（2.4）式左边的面积分为零，）式左边的面积分为零， 得： vdVdtd0 表示全空间的总电荷守恒表示全空间的总电荷守恒。 如果一个有限区域的如果一个有限区域的S上没有电流流出，则该系统的总上没有电流流出，则该系统的总电荷严格保持不变。电荷严格保持不
7、变。 11 电荷守恒定律的微分形式是对电荷守恒定律的微分形式是对任意变化电流任意变化电流成立的。成立的。 在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而变，因而变，因而/ /t t = 0= 0，因此，因此 上式表示恒定电流的连续性。恒定电流分布上式表示恒定电流的连续性。恒定电流分布是无源的，是无源的，其流线必为闭合曲线其流线必为闭合曲线，没有发源，没有发源点和终止点，即：恒定电流（直流电）只能点和终止点，即：恒定电流（直流电）只能在闭合回路中通过，电路一断，直流电就不在闭合回路中通过，电路一断，直流电就不能通过。能通过。 0J注意：注意： 12 电磁学起源于电磁
8、学起源于1819年著名的“奥斯特”年著名的“奥斯特”实验，实验，1820年年7月发表月发表。 2. 毕奥毕奥萨伐尔（萨伐尔（Biot-Savart）定律定律 13 1820年年9月月18日，安培在法日，安培在法国科学院报告国科学院报告了他关于平行了他关于平行载流导线之间载流导线之间相互作用的研相互作用的研究。究。 14 同向相吸同向相吸 反向相斥反向相斥 1820年年10月月30日，法国毕奥日，法国毕奥和萨伐尔发表和萨伐尔发表了载流长直导了载流长直导线对磁极作用线对磁极作用反比于距离反比于距离r的实验结果。的实验结果。 15 实验测出两个电流之间有作用力。和静电作实验测出两个电流之间有作用力。
9、和静电作用一样，这种作用力也需要通过一种物质作用一样，这种作用力也需要通过一种物质作为媒介来传递，这种特殊物质称为为媒介来传递，这种特殊物质称为磁场磁场。 电流激发磁场，另一个电流处于该磁场中，电流激发磁场，另一个电流处于该磁场中，就受到磁场对它的作用力。就受到磁场对它的作用力。 对电流有作用力是磁场的特征性质（固有性对电流有作用力是磁场的特征性质（固有性质）质）。同样我们就利用这一特性来描述磁场。同样我们就利用这一特性来描述磁场。 16 实验结果：一个电流元实验结果：一个电流元I Idl 在磁场中所受在磁场中所受的力可以表示为：的力可以表示为： 矢量矢量B B 描述电流元描述电流元所在点所在
10、点上磁场的性质，称上磁场的性质，称为磁感应强度。为磁感应强度。 恒定电流激发磁场的规律由毕奥恒定电流激发磁场的规律由毕奥- -萨伐尔萨伐尔定定律律给出。给出。 （两个互相垂直电流元的相互作用问题？）（两个互相垂直电流元的相互作用问题？） ddFI lB17 设设J(x)为源点为源点x上的电流密度，上的电流密度，r 为由点为由点x到场点到场点x 的距离，则场点上的磁感应强度的距离，则场点上的磁感应强度为：为： 式中式中o o为真空磁导率，积分遍及电流分为真空磁导率，积分遍及电流分布区域。布区域。 3( )( )4xrxdVrB。 J18 若电流集中于细导线上，以若电流集中于细导线上，以dl表示闭
11、合回路表示闭合回路L上的线元，上的线元，dSn为导线横截面元为导线横截面元，则电流元：，则电流元： 对导线截面积分后对导线截面积分后得得 Idl。 因此因此，细导线上恒定电流细导线上恒定电流激发磁场的毕奥激发磁场的毕奥- -萨伐萨伐尔定律写为尔定律写为： （2.8b） 毕奥毕奥- -萨伐尔定律是磁场分布规律的积分形式萨伐尔定律是磁场分布规律的积分形式。 nnSSdVdS dlJdS dJJl3( )4dxrB。 I lr19 为了反映磁场作用力在场中传递的特点，为了反映磁场作用力在场中传递的特点，还须找出：还须找出： 一个电流和它邻近的磁场的关系一个电流和它邻近的磁场的关系 一点上的磁场和邻近
12、点上的磁场的关系一点上的磁场和邻近点上的磁场的关系 即要找出即要找出磁场规律的磁场规律的微分形式微分形式。 我们先从电磁学总结出的定律得到磁场我们先从电磁学总结出的定律得到磁场的旋度和散度公式，的旋度和散度公式， 然后再由毕奥然后再由毕奥- -萨伐尔定律给出这些公萨伐尔定律给出这些公式的一般推导。式的一般推导。 20 3. 3. 磁场的环量和旋度磁场的环量和旋度 在电磁学中我们知道，载电流导线周围磁场在电磁学中我们知道，载电流导线周围磁场的磁感应线总是围绕着导线的一些闭合曲线。的磁感应线总是围绕着导线的一些闭合曲线。 磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围
13、曲面的电流曲面的电流I I 成正比成正比 ： （2.92.9） 式中式中L L为任一闭合曲线，为任一闭合曲线，I I 为通过为通过L L 所围曲所围曲面的总电流。（面的总电流。（2.92.9）式称为）式称为安培安培(Amp(Amp re)re)环环路定律路定律，它可以由毕奥，它可以由毕奥- -萨伐尔定律导出。萨伐尔定律导出。 0LdBlI21 下面举例验证一下（下面举例验证一下（2.92.9）式。）式。 如图如图1 1- -5 5，设有一根无设有一根无穷长直导线穷长直导线，载有电流载有电流I I。 22 用毕奥用毕奥- -萨伐尔定律可以求出这电流萨伐尔定律可以求出这电流激发的磁感应强度：激发的
14、磁感应强度： 式中式中r r 为场点到导线的垂直距离为场点到导线的垂直距离，磁感磁感线是围绕该导线的圆周线是围绕该导线的圆周。赵凯华赵凯华电磁电磁学学P P353353。 2IBr。23 若选半径为若选半径为r r 的圆周作为闭合回路的圆周作为闭合回路L L，有：，有： 如果所选的闭合曲线内没有电流通过，如果所选的闭合曲线内没有电流通过，如图如图1 1- -5 5中的回路中的回路PQRSPPQRSP，可以证明沿此回，可以证明沿此回路的磁场环量等于零。路的磁场环量等于零。 事实上，沿此回路的积分可分为四段事实上，沿此回路的积分可分为四段计算。沿径向的计算。沿径向的SPSP和和QRQR段，由于磁场
15、与段，由于磁场与dl方向正交，因此这两段积分为零。方向正交，因此这两段积分为零。 022LdrrB。IlI24 设设圆弧圆弧PQ的半径为的半径为r2，弧长为，弧长为l2，圆弧，圆弧RS的半径的半径r1，弧长为，弧长为l1，这，这两段积分值为：两段积分值为： 由于由于 l2/ r2 = l1/ r1 （弧度）（弧度） 因此上式为零。由此，对因此上式为零。由此，对回路回路PQRSP的的磁磁场环量为零。场环量为零。 112222lrIlrI。0LdBl25 总之，在安培环路定律（总之，在安培环路定律（2.92.9）式中，）式中，I I 为通过闭合曲线为通过闭合曲线 L L 所围曲面的总电流，所围曲面
16、的总电流，不通过不通过 L L 所围曲面的电流对环量没有贡所围曲面的电流对环量没有贡献。献。（但对（但对B B有贡献）有贡献）因此，安培环路定因此，安培环路定律可以用来导出电流与其邻近磁场的关律可以用来导出电流与其邻近磁场的关系，和其它地方流过的电流无关。系，和其它地方流过的电流无关。 0LdBlI26 （2.92.9） 对于连续电流分布对于连续电流分布J，在计算磁场沿，在计算磁场沿回路回路L 的环量时，只需考虑通过以的环量时，只需考虑通过以L为边为边界的曲面界的曲面S 的电流，在的电流，在S 以外以外流过的电流流过的电流对对环量环量没有贡献。因此，环路定律表为：没有贡献。因此，环路定律表为： （2.102.10） （2.92.9）或（）或（2.102.10）式是电流与磁场关系的）式是电流与磁场关系的积分形式积分形式。 LSddB。lJS27 为了求得微分形式，为了求得微分形式，我们把回路我们把回路L不不断缩小，使它围绕着一个面元断缩小，使它围绕着一个面元dS。这时。这时（2.10）式左边趋于）式左边趋于B dS，右边，右边趋趋于于oJdS。由由dS 的任意性得的任意性得： （2.11
