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1、1电动力学电动力学第第21讲讲第六章第六章 狭义相对论狭义相对论 (4) 6.4 6.4 相对论理论四维形式相对论理论四维形式2相对论的基本原理 n在总结新的实验事实之后，爱因斯坦（Einstein）提出了两条相对论的基本假设： n（1）相相对对性性原原理理 所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对论原理是被大量事实所精确检验过的物理学基本原理。n（2）光光速速不不变变原原理理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任意方向恒为c，并与光源运动无关。3洛伦兹变换n洛伦兹变换
2、洛伦兹变换4上一讲复习n速度变换公式速度变换公式 n由洛伦兹变换式可以推出相对论的速度变换公式，设物体相对于的速度 5上一讲复习n6. 6. 速度变换公式速度变换公式 6上一讲复习n6. 6. 速度变换公式速度变换公式 n反变换式为 7上一讲习题解答n4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0。 8上一讲习题解答n解 取静止系，随列车运动系 ，n列车经过一高大建筑物时避雷针
3、上跳起一脉冲点火花，选此时为事件0，（0，0）， （0，0）n则，静止系上 事件1，后面的铁塔被电光照亮，时空坐标为：n静止系上 事件2，前面的铁塔被电光照亮，时空坐标为： 9上一讲习题解答所以随列车运动系 10本讲主要内容n三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式 n四维协变量四维协变量 n物理规律的协变性物理规律的协变性 11二维空间的正交变换二维空间的正交变换 n设坐标系相对于坐标系转了一个角n设平面上一点P的坐标n在系为x，y；n在系为x , y。n新旧坐标之间有变换关系 nOP长度平方为
4、12二维空间的正交变换二维空间的正交变换 13二维空间的正交变换二维空间的正交变换 n设坐标系相对于坐标系转了一个角n设平面上一点P的坐标n在系为x，y；n在系为x , y。n设为平面上任意矢量。在系中的分量为x , y；在系中的分量为x，y。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系, 14三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 n坐标系转动时距离保持不变，应有 15三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n设为三维空间任意矢量。在系中的分量为x , y , z
5、；在系中的分量为x，y，z 。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系,16三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 n在一般情形中，当公式中出现重复下标时（如上式右边的j），往往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见，我们省去求和符号。除特别申明外，凡有重复下标时都意味着要对它求和。这是现代物理中通用的约定，称为爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定。 17三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n由此，变换式可简写为 n正交条件是 n引入符号ij，定义为 n则，18三
6、维空间的正交变换三维空间的正交变换 19物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。 n标量标量 有些物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电荷等都是标量。n设在坐标系中某标量用u表示，在转动后的坐标系 中用u表示。由标量不变性有 u = u 20物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n矢量矢量 有些物理量在空间中有一定的取向性，这种物理量用三个分量表示，当空间坐标按公式作转动变换时，该物理量的三个分量按同一方式变换
7、。这类物理量称为矢量。 n例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。 n有些微分算符以具有矢量的性质。例如算符，它在系中的分量为/xi，在 系中的分量为/xi。根据微分公式有 21物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量 有些物理量显示出更复杂的空间取向性质。这类物理量要用两个矢量指标表示，有9个分量。当空间转动时，其分量Tij按以下方式变换n n具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。n例如应力张量，电四极矩等都是二阶张量。 22物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量23物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n
8、二阶张量二阶张量24物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量25物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n若Tij对指标i，j对称Tij = Tji ，则变换后的张量仍然是对称的。同样，反对称张量Tij = Tji变换后保持反对称性。n张量之迹Tii是一个标量 26物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n因此，二阶张量可以分解为三个部分：n迹 Tii ，n无迹对称张量 Tij = Tji，Tii = 0 ,n反对称张量 Tij = Tji。 27洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换。如
9、果形式上引入第四维虚数坐标n则间隔不变性可写作 28洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n以后在下角指标中用拉丁字母拉丁字母代表1-3，希腊字母希腊字母代表1-4，间隔不变式可写为 n洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维线性变换n由此，洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。 29洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 30洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 31洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n逆变换矩阵为 32洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变
10、换的四维形式n逆变换为 33四维协变量四维协变量n在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类。n在洛伦兹变换下不变的物理量称为洛伦兹标量或不变标量或不变量量。34四维协变量四维协变量n具有四个分量的物理量V，如果它在惯性系变换下与坐标有相同变换关系，它就成为四维矢量四维矢量。n满足变换关系的物理量T称为四维张量四维张量。n这些物理量（标量、矢量和各阶张量）在洛伦兹变换下有确定的变换性质
11、，称为协变量。 35四维协变量四维协变量n例如间隔n 为洛伦兹标量。n固有时 也是洛伦兹标量。 36四维协变量四维协变量n因物体的位移dx为四维矢量，d为标量，所以n 是一个四维矢量。这个四维矢量称为四维速度矢量四维速度矢量。n而通常意义下的速度是 n（下角指标用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四维矢量的分量。因为当坐标系变换时，dxi按四维矢量的分量变换，但dt亦发生改变，因此ui就不按矢量方式变换。 37四维协变量四维协变量n因为n所以四维速度的分量是 nU的前三个分量和普通速度联系着，当 c时即为u u，因此U称为四维速度。参考系变换时，四维速度有变换关系 38四维协变量四维协变量39四
12、维协变量四维协变量40四维协变量四维协变量41四维协变量四维协变量42四维协变量四维协变量43四维波矢量四维波矢量n设有一角频率为，波矢量为k k的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变（多谱勒效应和光行差效应）。以和k k表示上观察到的角频率和波矢量。现在我们研究k k和如何变换。 44四维波矢量四维波矢量n我们知道，计算辐射场的基本公式是推迟势公式 n若电流J是一定频率的交变电流，有45四维波矢量四维波矢量n电磁波的相位因子是n在另一参考系观察的相位因子是46四维波矢量四维波矢量n设参考系和的原点在时刻t=t=0重合，n在该时刻位相 =0，取此事件
13、为第1事件。n在参考系上n个周期后，第n个波峰通过原点，n=-2n,取此事件为第2事件。n因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而位相只是计数问题，不应随参考系而变。n相位是一个不变量。 47四维波矢量四维波矢量n我们知道x x与ict合为四维矢量x，因此，若k k与i /c合为另一个四维矢量k，它们按四维矢量方式变换，有n我们得到一个四维波矢量 48四维波矢量四维波矢量49四维波矢量四维波矢量50四维波矢量四维波矢量n设波矢量k与x轴方向的夹角为，k与x轴方向的夹角为，有n这就是相对论的多普勒效应和光行差公式。51四维波矢量四维波矢量n若为光源的静止参考系，则 = 0，n0为静止光源的辐
14、射角频率。有 n这就是相对论的多普勒效应。52四维波矢量四维波矢量n若光源以 v=0.8c，迎面飞来时，n= 5/3，0。有 53四维波矢量四维波矢量n若光源以 v=0.8c，远离时，n= 5/3，=。有 54例题：高速火车n8A、站台的起点A处的人员看到火车尾部A与站台终点B对齐时，4个时钟各指什么时刻？55四维波矢量四维波矢量56四维波矢量四维波矢量n在垂直于光源运动方向观察辐射时，经典公式给出 = 0 ，而相对论公式给出 n即在垂直与光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向多谱勒效应。横向多谱勒效应为Ives-Stilwell实验所证实，它是相对论时间延缓效
15、应的证据之一。 57四维波矢量四维波矢量n设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在xy面上,在x轴有夹角,则 n设系相对与以速度沿x轴方向运动,在系上观察到光线与 x轴有夹角 , 58四维波矢量四维波矢量n光行差较早为天文观察所发现（Bradley于1728年）。地球相对于太阳参考系的运动速度为，在上看到某恒星发出的光线的倾角为 = ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为 = 。由于 c，59四维波矢量四维波矢量n光行差较早为天文观察所发现（Bradley于1728年）。地球相对于太阳参考系的运动速度为，在上看到某恒星发出的光线的倾角为 = ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为 = 。由于
16、 c，n由于地球绕太阳公转，一年之内地球运动速度的方向变化一个周期，因此，同一颗恒星发出的光线的表现方向亦变化一个周期。天文观测证实了这种周期变化，并且由光线表现方向的改变比较准确的导出光的传播速度。 60物理规律的协变性物理规律的协变性 n如果一个方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变协变性性。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式。如果表示物理规律的方程式协变的话，它就满足相对性原理的要求。 61物理规律的协变性物理规律的协变性 n设某方程具有形式n其中F和G都是四维矢量。在参考系变换下，有n因而在新参考系中有F= G，这方程形式上和原参考系 中的方程一致。 62n谢谢！谢谢！
