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1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法主要内容主要内容n控制系统时域性能指标控制系统时域性能指标 n一、二阶系统分析与计算一、二阶系统分析与计算 n高阶系统暂态分析高阶系统暂态分析n系统稳定性分析系统稳定性分析 n系统稳态误差分析系统稳态误差分析n应用应用matlabmatlab进行时域分析进行时域分析 基本要求基本要求1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2了解一阶系统的脉冲响应的特点。3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。
2、 4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5熟练掌握计算稳态误差的方法。6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。 控制系统的分析方法控制系统的分析方法n分析控制系统n第一步第一步 建立模型建立模型n第二步第二步 分析控制性能分析控制性能n分析方法包括n时域分析法n频域分析法n根轨迹法3.1 典型输入函数和时域性能指标典型输入函数和时域性能指标 一、时域分析法的特点一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。优点：直接方法，比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息
3、。缺点：求解高阶微分方程困难二、典型初始状态，典型输入函数二、典型初始状态，典型输入函数1. 典型初始状态典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。于相对平衡状态。系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；状态和系统的输入信号形式决定；典型的输入信号
4、有：阶跃信号；斜坡信号；典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达简单，便于典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。分析和处理，易于实验室获得。2. 典型输入函数典型输入函数 阶跃函数阶跃函数tu(t)0 0 = = =0t00t1)t (1)t (u其拉氏变换为：其拉氏变换为：s1dte1)s(U)t (uL0st= = = = - - 其数学表达式为：其数学表达式为： 斜坡函数斜坡函数0t0t0t)t (1t)t (u = =. .= =其拉氏变换为：其拉氏变换为：20st
5、s1dtet)s(U)t (uL= = = = - -tu(tu(t) )0 0 其数学表达式为：其数学表达式为：抛物线抛物线函数函数其拉氏变换为其拉氏变换为000)()(= = = = =ttttud d其拉氏变换其拉氏变换为：为：1)()(= = =sFtuL + - -= = 1)(dttd d定义：定义：单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。 脉冲函数脉冲函数 其数学表达式为：其数学表达式为：其拉氏变换其拉氏变换为：为：220sin)()(sdte tsUtuLst+ += = = = - -000sin)( = =ttttuu(t) 其数学表达式为：其数
6、学表达式为：正弦函数正弦函数 分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。的实际输入信号而定。正弦信号主要用来求取频率响应。正弦信号主要用来求取频率响应。三、控制系统的时域性能指标三、控制系统的时域性能指标时间响应：时间响应：动态过程动态过程从初始态到接近稳态的响应。从初始态到接近稳态的响应。稳态过程稳态过程t t趋于无穷大时的输出状态。趋于无穷大时的输出状态。对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的；（2）系统达到稳定时,应满足给定的稳态误差的要求；（3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。超调超调误差带误差带稳态误差稳态误差Ess
7、tdtrtpts0th(t)10.90.50.1上升时间上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间阶跃响应输出阶跃响应输出单位阶跃响应性能指标：单位阶跃响应性能指标：1 延迟时间延迟时间td：指：指h(t)上升到稳态的上升到稳态的50%所所 需的时间。需的时间。2 上升时间上升时间tr：指：指h(t)第一次上升到稳态值第一次上升到稳态值 的所需的时间。的所需的时间。3 峰值时间峰值时间tp：h(t)第一次达到峰值所需的第一次达到峰值所需的 时间。时间。 上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。4 超调量超调量 ：h(t)的最大值与稳态值之差与的最大值与稳态值之差与
8、 稳态值之比：稳态值之比：5 调节时间调节时间ts：指：指h(t)和和h( )之间的偏差之间的偏差 达到允许范围（达到允许范围（2%-5%）时的暂态过程时）时的暂态过程时 间。它反映了系统的快速性。间。它反映了系统的快速性。6 振荡次数振荡次数N： 调节时间内，输出偏离稳态调节时间内，输出偏离稳态 的次数。的次数。7 稳态误差稳态误差ess： 单位反馈时，实际值（稳单位反馈时，实际值（稳 态）与期望值（态）与期望值（1（t）之差。它反映）之差。它反映 系统的精度。系统的精度。注意事项：注意事项：3.2 一阶系统的暂态分析一阶系统的暂态分析q定义：定义： 由一阶微分方程描述的系统称为一阶由一阶微
9、分方程描述的系统称为一阶系统。系统。1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶系统数学模型一阶系统数学模型微分方程：微分方程：动态结构图：动态结构图：传递函数：传递函数：输入：输入：输出：输出：2.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。为一条指数曲线。单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线初始斜率： 一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值态值1 1所需的时间应恰好为所需的时间应恰好为T T。性能指标性能指标1. 平稳性
10、平稳性：2. 快速性快速性ts：3.准确性准确性 ess：非周期、无振荡非周期、无振荡， 不存在不存在T T越小，系统过渡时间就越短。越小，系统过渡时间就越短。举例说明举例说明n一阶系统如图所示，试求：一阶系统如图所示，试求：1.当当KH0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大放大倍数倍数K2.如果要求如果要求ts0.1秒，试问系统的反馈系数秒，试问系统的反馈系数KH应调整为何应调整为何值？值？24稳态误差输出响应3.一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入r(t)=t1(t)作用下的响应。25 稳态误差趋于T，T越小，动态性
11、能越快，稳态误差越小，但不能消除。初始速度：26 单位斜坡响应单位斜坡响应27n一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上升后是时间常数上升后是时间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。n该曲线的特点是：在该曲线的特点是：在t=0t=0处曲线的斜率等处曲线的斜率等于零；于零；n稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差存在偏差T T。28输入：输入：输出：输出：4.一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应29输入：输入：输出：输出：5.一阶系统的单位加速度响应一阶系
12、统的单位加速度响应系统的跟踪误差：系统的跟踪误差：跟踪误差随着时间的推移而增大，因此，一阶系跟踪误差随着时间的推移而增大，因此，一阶系统不能实现对单位加速度输入函数的跟踪。统不能实现对单位加速度输入函数的跟踪。30n由由上面分析可知，一阶系统仅有一个上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量特征参量T时间常数，调整时间为时间常数，调整时间为（3-4T）n当当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为脉冲响应的初始值均为1/T，单位斜坡单位斜坡响应的稳态误差为响应的稳态误差为T。nT越小，系统的动、静态性能越好。越小，系统的动、静态性能越好。31一、二阶系统的
13、数学模型及单位阶跃响应一、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应q定义：定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统系统。 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义。究，因此研究二阶系统具有很重要的意义。3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析单位负反馈系统是典型的二阶系统，开环传函为单位负反馈系统是典型的二阶系统，开环传函为闭环传函为闭环传函为无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率二阶系统阻尼比二阶系统阻尼比二阶系统数学模型二
14、阶系统数学模型二阶系统数学模型二阶系统数学模型二阶系统的传递函数一般式为：二阶系统的传递函数一般式为：二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为s1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参两个参数数。解方程求得特征根：二阶系统阶跃响应二阶系统阶跃响应1.1.无无( (零零) )阻尼情况阻尼情况q此时此时s1,s2为一对为一对纯虚根，位于虚纯虚根，位于虚轴上。轴上。qS1,2= j n单位阶跃响应单位阶跃响应q曲线等幅振荡，超调量为曲线等幅振荡，超调量为100%，系统为，系统为不稳定系统。不稳定系统。不同不同 时二阶系统阶跃响应时二阶系统阶跃响应2.临界阻尼情况临界阻尼情况q此时此时s s1 1,
15、s,s2 2为一对相等为一对相等的负实根。的负实根。 s s1 1=s=s2 2=-=- n n不同不同 时二阶系统阶跃响应时二阶系统阶跃响应3. 过阻尼情形过阻尼情形（ ) 不同不同 时二阶系统阶跃响应时二阶系统阶跃响应过阻尼系统分析过阻尼系统分析衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数一个大，一个小；衰减项前的系数一个大，一个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和
16、超调，但又不同于一阶系统；振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。生的影响小，有时甚至可以忽略不计。二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面速性的一个方面4. 负阻尼负阻尼q此时此时s1,s2为为一对实部为一对实部为正的共轭复正的共轭复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。5.负阻尼负阻尼q此时此时s1,s2为为两个正实根，两个正实根，且位于复平且位于复平面的正实轴面的正实轴上。上。q此时此时s1,s2为一为一对共轭复根，对共轭复根，且位于复平面且位于复平面的左半部。的左半部。6.6.欠阻尼情况欠阻尼情况阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率不同不同 时二阶系统阶跃响应时二阶系统阶跃响应q二阶欠阻尼系
