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1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第一章随机事件第一章随机事件一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算全概率公式的应用古典概型的概率计算全概率公式的应用二、主要内容二、主要内容随机随机现象现象随机随机试验试验事件的事件的独立性独立性随随 机机 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件对对立立事事件件概概 率率古典古典概型
2、概型几何几何概率概率乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不不可可能能事事件件 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为随机现象随机现象.随机现象随机现象 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中，把具有以下三个特征的试验称
3、为把具有以下三个特征的试验称为随机试验随机试验.随机试验随机试验 样本空间的元素样本空间的元素 ,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称称为为样本点样本点. 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称为为样本空间样本空间,记为记为 S. 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的的随机事件随机事件, 简称简称事件事件.随机事件随机事件 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件不可能事件的对立面是必然事件的对立面是必然事件,
4、它们互称为它们互称为对立事件对立事件.基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.重要的随机事件重要的随机事件事件的关系和运算事件的关系和运算(1) 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现，必然导致事件出现，必然导致事件 B 出现，出现，则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A，记作，记作图示图示 B 包含包含 A .SBA(2) A等于等于B(3) 事件事件A与与B的并的并(和事件和事件)图示事件图示事件 A与与 B 的并的并. . SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而
5、且事件 B 包含事件包含事件 A, 则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等,记作记作 A=B.(4) 事件事件A与与B的交的交(积事件积事件)图示事件图示事件 A 与与 B B 的积的积. .SABAB(5) 事件事件A与与B互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现 , B 出现也必然导致出现也必然导致 A 不出现不出现,则称事件则称事件 A 与与 B互不相互不相容容,即即图示图示 A 与与 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） .SAB (6) 事件事件A与与B的差的差由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成的事
6、件称不出现所组成的事件称为事件为事件A与与B的差的差.记作记作 A- - B.图示图示 A 与与 B 的差的差.SABSAB设设A表示表示“事件事件A出现出现”, 则则“事件事件A不出现不出现”称为事件称为事件A的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件.记作记作图示图示 A 与与 B 的对立的对立 .SB若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有A(7) 事件事件A的对立事件的对立事件说明说明对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABAB A，B 对立对立 A，B 互斥互斥互斥互斥对立对立事件运算的性质事件运算的性质(1)频率的定义频率的定义 频率频率设设 A 是随机试验是随机试验 E
7、的任一事件的任一事件, 则则(2)频率的性质频率的性质 概率的定义概率的定义概率的可列可加性概率的可列可加性概率的有限可加性概率的有限可加性概率的性质概率的性质n 个事件和的情况个事件和的情况定义定义等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型)设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A为为E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.几何概型几何概型当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样
8、本空间是某个区域,并且任意并且任意一点落在度量一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是相同的子区域是等可能的等可能的,则事件则事件A的概率可定义为的概率可定义为条件概率条件概率同理可得同理可得为在事件为在事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.(1) 条件概率的定义条件概率的定义(2) 条件概率的性质条件概率的性质乘法定理乘法定理样本空间的划分样本空间的划分全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式全概率公式全概率公式说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个
9、简单一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果.贝叶斯公式贝叶斯公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 事件事件 A 与与 B 相互独立是指事件相互独立是指事件 A 的概率与事的概率与事件件 B 是否出现无关是否出现无关.说明说明 事件的相互独立性事件的相互独立性(1)两事件相互独立两事件相互独立(2)三事件两两相互独立三事件两两相互独立注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立(3)三事件相互独立三事件相互独立n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两
10、相互独立个事件两两相互独立重要定理及结论重要定理及结论两个结论两个结论三、典型例题三、典型例题P63P63：4,5,8,4,5,8,P67P67：2121一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第一章随机变量及其分布第一章随机变量及其分布一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律分布、二项分布和泊松分布的分布律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算密度函数及有关区间概率的计算2.难点难点连续型随机变量的概率密度函数的求法连续型随机变量的概率密度函数的
11、求法二、主要内容二、主要内容随随 机机 变变 量量离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量分分 布布 函函 数数分分 布布 律律密密 度度 函函 数数均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布随机变量随机变量的函数的的函数的 分分 布布定定义义 随机变量是一个函数随机变量是一个函数 ,但它与普通的函数有着但它与普通的函数有着本质的差别本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而随机而随机变量是定义在样本空间上的变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一样本空间的元素不一定是实数定是实数)
12、.(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机变量随机变量 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此因此随机变量的取值也有一定的概率规律随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现
13、象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它随机变量所取的可能值是有限多个或无限随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律(1)定义定义(2)说明说明设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为
14、则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布.两点分布两点分布 称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 (2)说明说明随机变量的分布函数随机变量的分布函数(1)定义定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况值的概率情况.即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(3)性质性质离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数(4)重要公式重要公式连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度(1)定义定义(2)性质性质若若X是连续型随机变量是
15、连续型随机变量 ，X=a 是不是不可能事件可能事件, 则有则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 连连续续型型离离散散型型(3)注意注意均匀分布均匀分布(1)定义定义(2)分布函数分布函数分布函数分布函数指数分布指数分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)(1)定义定义(2)分布函数分布函数标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为(3)标准正态分布标准正态分布标准正态分布的图形标准正态分布的图形(4)重要公式重要公式随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布(1)离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分
16、布(2)连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布定理定理三、典型例题三、典型例题P62P62：15,2015,20P64P64：13,18,1913,18,19P70P70：4545一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第二章多维随机变量及其分布第二章多维随机变量及其分布一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点二维随机变量的分布二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性有关概率的计算和随机变量的独立性2.难点难点条件概率分布条件概率分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分 布布条条 件件 分分 布布两两 个个 随随 机机 变变 量量 的的 函函 数数 的的 分分 布布随随 机机 变变 量量 的的 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广二、主要内容二、主要内容二维随机变量二维随机变量(1) 定义定义 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数且有且有(2) 性质性质
