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1、大学物理习题课大学物理习题课 热学部分热学部分2010.11.291 统计物理学统计物理学2理想气体状态方程理想气体状态方程理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体内能理想气体内能麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布分子碰撞统计规律（平均自由程和分子碰撞统计规律（平均自由程和碰撞频率）碰撞频率）基本规律基本规律1.1.理想气体状态方程理想气体状态方程2.2.理想气体压强公式理想气体压强公式43.3.温度与分子平均平动动能的关系温度与分子平均平动动能的关系5.5.理想气体内能公式理想气体内能公式4.4.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能都等于平衡态下
2、，气体分子的每一个自由度的平均动能都等于 。若气体分子具有。若气体分子具有i个自由度，则分子的能量为个自由度，则分子的能量为56.6.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 数学表达式数学表达式物理意义：物理意义：速率在速率在 区间气体分子数区间气体分子数 占总分占总分 子数子数 的百分比，或者说一个分子的速率处的百分比，或者说一个分子的速率处 于于 区间的概率。区间的概率。速率分布函数速率分布函数物理意义：物理意义：处在速率处在速率 附近单位速率区间内气体分子数占附近单位速率区间内气体分子数占 总分子数的百分比。概率密度总分子数的百分比。概率密度6三种特征速率三种特征速率最概然速率：平均速率：
3、方均根速率：77.7.玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 表示气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分表示气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分布区间布区间 、 、 和坐和坐标区间标区间 、 、 内的分子数；内的分子数； 是是分子的平动动能；分子的平动动能； 是分子在力场中的势能是分子在力场中的势能体积元体积元dxdydz内的总分子数内的总分子数n n为空间粒子数密度为空间粒子数密度n0为为 Ep =0 处的粒子数密度处的粒子数密度8重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布- - 恒温气压公式恒温气压公式8. 8. 平均碰撞频率平均碰撞频率平均自由程平均自由程9五种类型问题五种类型
4、问题(1) 利用理想气体方程、压强公式、内能公式，计算相利用理想气体方程、压强公式、内能公式，计算相关物理量关物理量(2) 麦克斯韦速率分布率相关问题麦克斯韦速率分布率相关问题(3) 利用三种特征速率公式的一些计算利用三种特征速率公式的一些计算(4) 平均自由程相关问题平均自由程相关问题(5) 玻尔兹曼能量分布律的应用玻尔兹曼能量分布律的应用10例例1. 体积和压强都相同的氦气和氢气（均视为刚性分子理想体积和压强都相同的氦气和氢气（均视为刚性分子理想气体），在某一温度气体），在某一温度T下混合，所有氢气分子所具有的热运下混合，所有氢气分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比是多少
5、？动动能在系统总热运动动能中所占的百分比是多少？氢气为双原子分子，自由度为氢气为双原子分子，自由度为5，一个分子平均动能：一个分子平均动能：所有氢气分子总动能为所有氢气分子总动能为氦气为单原子分子，自由度为氦气为单原子分子，自由度为3，一个分子平均动能：一个分子平均动能：所有氦气分子总动能为：所有氦气分子总动能为：氢气分子动能的百分比为氢气分子动能的百分比为知道氢气和氦气分子的摩尔比就可确定氢气分子动能百分比。知道氢气和氦气分子的摩尔比就可确定氢气分子动能百分比。根据条件，两种气体根据条件，两种气体P和和V都相同，在同一温度都相同，在同一温度T下混合。下混合。理想气体压强公式：理想气体压强公式
6、：氢气氢气氦气氦气T相同，相同，P相同，因此相同，因此n1=n2, 即分子数密度相同。即分子数密度相同。V也相同。也相同。摩尔量为摩尔量为:例例2. 容积为容积为10L的盒子以速率的盒子以速率V=200m/s匀速运动，容器中匀速运动，容器中充有质量为充有质量为50g，温度为，温度为18oC的氢气，设盒子突然停止，的氢气，设盒子突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，容器与外界没有能量交换，则达到平衡后氢气的温度和容器与外界没有能量交换，则达到平衡后氢气的温度和压强增加多少？（氢气分子视为刚性分子）压强增加多少？（氢气分子视为
7、刚性分子）动能全部转化为内能，内能只与温度有关，内能增加即动能全部转化为内能，内能只与温度有关，内能增加即温度增加，等体变化中，温度增加引起压强增加。温度增加，等体变化中，温度增加引起压强增加。定向运动动能定向运动动能这些能量全部转化为内能，氢气分子内能增加量为这些能量全部转化为内能，氢气分子内能增加量为1mol氢气分子内能与温度关系：氢气分子内能与温度关系：50g氢气总的内能为氢气总的内能为内能增加量和温度增加量之间存在关系内能增加量和温度增加量之间存在关系理想气体压强方程理想气体压强方程P=nkT,气体总量不变，容器体积不变，因此分子数密度气体总量不变，容器体积不变，因此分子数密度n没有变
8、化，没有变化，压强增加量和温度增加量存在关系压强增加量和温度增加量存在关系例例3. 用绝热材料制成的一个容器，体积为用绝热材料制成的一个容器，体积为2V0，被绝热板隔成，被绝热板隔成A、B两部分，两部分，A内储存有内储存有1 mol单原子分子理想气体，单原子分子理想气体，B没储没储存有存有2mol刚性双原子分子理想气体，刚性双原子分子理想气体，A、B两部分压强相等，两部分压强相等，均为均为P0，两部分体积均为，两部分体积均为V0，则，则（1） 两种气体各自的内能分别为多少？两种气体各自的内能分别为多少？（2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡
9、时的温度为多少？1 mol理想气体内能为理想气体内能为A中为单原子理想气体，自由度为中为单原子理想气体，自由度为3，因此内能为因此内能为根据理想气体状态方程：根据理想气体状态方程：A中气体的内能为：中气体的内能为：（1） 两种气体各自的内能分别为多少？两种气体各自的内能分别为多少？B中为双原子刚性理想气体，自由度为中为双原子刚性理想气体，自由度为5，因此内能为因此内能为根据理想气体状态方程：根据理想气体状态方程：带入上式得出带入上式得出（2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？混合后两种气体混合后两种气体温度相同温度相同，温度与
10、内能有关。因此应，温度与内能有关。因此应从内能入手。容器绝热，外界没有对气体做功，也没从内能入手。容器绝热，外界没有对气体做功，也没有热传递。系统内能量守恒。两种气体间存在能量转移，有热传递。系统内能量守恒。两种气体间存在能量转移，但是总但是总内能不变内能不变。设混合后温度为。设混合后温度为T，则混合后，则混合后A气体内能气体内能B气体内能气体内能混合前总内能为：混合前总内能为：混合后总内能为：混合后总内能为：混合前后内能相同：混合前后内能相同：例例4. 容器内盛有密度为容器内盛有密度为r r的单原子理想气体，其压强为的单原子理想气体，其压强为p，此气体分子的方均根速率为多少？单位体积内气体的
11、内此气体分子的方均根速率为多少？单位体积内气体的内能为多少？能为多少？方均根速率肯定和内能有关，理想气体分子平均内能方均根速率肯定和内能有关，理想气体分子平均内能理想气体压强公式理想气体压强公式 P=nkT怎样将密度怎样将密度r r和压强和压强P联系起来？联系起来？由上式可知由上式可知（1）代入理想气体压强公式：代入理想气体压强公式：n为分子数密度，即单位体积内分子个数。为分子数密度，即单位体积内分子个数。m为一个分子为一个分子质量。质量。nm即为单位体积内气体分子的质量，也就是密度即为单位体积内气体分子的质量，也就是密度r r。因此，方均根速率为因此，方均根速率为（2）单位体积内气体的内能为
12、多少？）单位体积内气体的内能为多少？一个分子平均内能为一个分子平均内能为单位体积内有单位体积内有n个分子，内能为个分子，内能为例例5 ：已已知知某某气气体体在在温温度度T T时时的的速速率率分分布布函函数数为为 ，说明下列各表达式的意义，说明下列各表达式的意义 (1) (1) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或者说，速率在概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总间隔内的分子数占总 分子数的百分比。分子数的百分比。 (2) (2) 表示在表示在 间隔的分子数间隔的分子数 (3) (3) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或
13、者说，速率在概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总分间隔内的分子数占总分 子数的百分比。子数的百分比。 (4) (4) 表示在表示在 间隔内的分子数。间隔内的分子数。26例例6 N个质量个质量 m 的同种气体分子，其速率分布如图所示。的同种气体分子，其速率分布如图所示。(1)问问图图中中横横坐坐标标、纵纵坐坐标标及及折折线线与与横横坐坐标标所所包包围围的的面面积积的的含含义是什么？义是什么？(2)已知已知N、v ，求，求a(3)(3)求速率在求速率在 v0/2 到到3v0/2 之间的分子数之间的分子数(4)(4)求分子的平均速率和平均平动动能求分子的平均速率和平均平动动能解解: :(1)(1
14、)横坐标表示气体分子速率。纵横坐标表示气体分子速率。纵坐标表示在速率坐标表示在速率v附近单位速率区附近单位速率区间内分子数；而间内分子数；而Nf(v)dv 表示分布在表示分布在速率速率v-v+dv区间的分子数，对应于区间的分子数，对应于折线与横坐标所包围的面积。折线与横坐标所包围的面积。27(2)(2)由图可得分布函数为由图可得分布函数为 由归一化条件由归一化条件 ，得，得所以所以28(3)(3)所以速率在所以速率在 的分子数为的分子数为29(5)(5)求分子的平均速率和平均平动动能求分子的平均速率和平均平动动能由于由于 所以所以30平均平动动能平均平动动能例例7. 设有设有N个粒子，其速率分
15、布函数为：个粒子，其速率分布函数为：（1）画速率分布曲线；（）画速率分布曲线；（2）由）由N和和v0求常量求常量a；（3）求粒子的最概然速率；（）求粒子的最概然速率；（4）求）求N个粒子的平均速率；个粒子的平均速率；（5）求速率介于区间（）求速率介于区间（0v0/2）的粒子数；）的粒子数；（6）求（）求（v0/2 v0）区间内分子的平均速率。）区间内分子的平均速率。 例例8 一一绝绝热热容容器器，体体积积为为2Vo，由由绝绝热热板板将将其其分分隔隔成成相相等等的的两两部部分分A和和B，如如图图所所示示。设设A内内贮贮有有1mol 的的He分分子子的的气气体体，B内内贮贮有有2mol 的的H2分
16、分子子的的气气体体，A、B两两部部分分的的压压强强均均为为PO。如如果果把把两两种种气气体体都都看看作作理理想想气气体体。现现在在抽抽去去绝绝热热板板，求求两两种种气气体体混混合合后后达达到到平平衡衡状状态态时时的的温温度度和和压压强。强。解：混合前，两种气体的内能为：解：混合前，两种气体的内能为：因此两种气体的总内能为：因此两种气体的总内能为：33设混合气体的温度为设混合气体的温度为T T，其内能为：，其内能为：因为混合前后内能不变，所以因为混合前后内能不变，所以所以所以由理想气体状态方程可以得到压强为：由理想气体状态方程可以得到压强为：34例例9：由麦克斯韦速率分布律由麦克斯韦速率分布律 出发，求：出发，求： (1) (1)平动动能平动动能 介于介于 之间的之间的分子数占总分子数的比率；分子数占总分子数的比率； (2)(2)平动动能的最概然值平动动能的最概然值解解:(1):(1)根据麦克斯韦速率分布律，速率介于根据麦克斯韦速率分布律，速率介于 之间的分子数占总分子数的比率为之间的分子数占总分子数的比率为由于由于 ， ，即，即 35将将 ， 代入代入(1)式，得平动动能介于式，得平动
