《山东大学概率论与数理统计课件33中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东大学概率论与数理统计课件33中心极限定理（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随
2、机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题. 当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋
3、于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.的分布函数的极限的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布. 考虑考虑中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极中心极限定理限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立
4、同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格的中心极限定理，也称列维一林德伯格（LevyLindberg）定理定理.定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理） 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设X1,X2, 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，则，则 虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ +Xn 的分布的确
5、切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布. 我们前面介绍过的我们前面介绍过的棣莫佛拉普拉斯定棣莫佛拉普拉斯定理理（二项分布的正态近似）是上述定理的特（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况殊情况.定理定理( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的二的二项分布，则对任意项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1920)由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为
6、Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8) 1-=1-0.7881=0.2119例例2. (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车调换工件等常需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电每台车床的工作是
7、独立的，且在开工时需电力力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产证该车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床
8、工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.） 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)这里这里 np=120, np(1-p)=48由由3准则，准则，此项为此项为0.查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也也就就是是说说, 应应供供应应142 千千瓦瓦电电力力就就能能以以99.9%的的概概率率保保证证该该车车间间不不会会因因供供电电不不足而影响生产足而影响生产. 3.1,故故例
9、例3 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码抽一个，并记下号码.问对序列问对序列Xk,能否应用大数定律？能否应用大数定律？ 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.解解: k=1,2, E(Xk)=0.1, (1) 设设，k=1,2, 即即对对任意的任意的0,解解: k=1,2, E(Xk)=0.1, 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.(2) 至少应取球多少次才能
10、使至少应取球多少次才能使“0”出现的出现的频率在频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理近似近似N(0,1)近似近似N(0,1)欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次次才能使才能使“0”出现的出现的频率在频率在0.09-0.11之间之间的概率至少是的概率至少是0.95.(3) 用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率之间的概率.解：在解：在100次抽取中次抽取中, 数码数码
11、“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)即即近似近似N(0,1)E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率为之间的概率为0.6826.=0.6826近似近似N(0,1) 当诸随机变量独立但不一定同分布时，当诸随机变量独立但不一定同分布时，中心极限定理也成立中心极限定理也成立. . 李雅普诺夫证明了李雅普诺夫证明了, ,在某些非常一在某些非常一般的充分条件下般的充分条件下, ,当随机变量的个数无当随机变量的个数无限增加时限增加时, ,独立随机变量和的分布趋于独立随机变量和的
12、分布趋于正态分布正态分布. . 设设X1,X2, 是独立随机变量序列，是独立随机变量序列，E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，则在某些一般的条件下则在某些一般的条件下,具有渐近正态分布具有渐近正态分布N(0,1)即即概述如下概述如下: : 在中心极限定理上面的叙述中在中心极限定理上面的叙述中, ,所谈及所谈及的一般条件可以粗略地概括如下的一般条件可以粗略地概括如下: :当当n n充分大时充分大时, ,每个单独的项每个单独的项是是“均匀地小均匀地小”, ,对总和的极限分布都对总和的极限分布都不会产生显著的影响不会产生显著的影响. .请看下面的例子请看下面的例子. .在一个物理实验中的
13、测量误差是由许多不在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能观察到的可能观察到的, ,而可看作是可加的小误差而可看作是可加的小误差所组成所组成. . 一个悬浮于一种液体中的小质点受到一个悬浮于一种液体中的小质点受到分子的碰撞分子的碰撞, ,而使它在随机的方向作随机大而使它在随机的方向作随机大小的位移小的位移, ,而该质点在一定长时间之后的位而该质点在一定长时间之后的位置可以看作各个位移的总和置可以看作各个位移的总和. . 在任一给定时刻在任一给定时刻, ,一个城市的耗电量是一个城市的耗电量是大量单独的耗电者需用电量的总和大量单独的耗电者需用电量的总和. . 在一个蓄水池中的储水量可以看作是在一个
14、蓄水池中的储水量可以看作是极大数量的单独供水池的供水量的总和极大数量的单独供水池的供水量的总和. .不难发现不难发现, ,在许多领域里在许多领域里, ,研究的课题所研究的课题所碰到的许多随机现象都很好地近似正态碰到的许多随机现象都很好地近似正态分布分布, ,从中心极限定理看来从中心极限定理看来, ,这是合理的这是合理的. .我们介绍了中心极限定理我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.
