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1、2019-2020学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评11排序不等式北师大版一、选择题1设a1,a2,a3为正数,且a1,a2,a3的任一排列为a1,a2,a3,则的最小值为()A3B6C9D12【解析】由题意,不妨设a1a2a30,则0,3,当且仅当a1a2a3时等号成立【答案】A2设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,Pababab,Qa1a2an,则P与Q的大小关系是()APQBPQCP0,可知aaa,aaa.由排序不等式,得abababaaaaaa,即abababa1a2an.PQ,当且仅当a1a2an0时等号成立【答案】D3某班学生要开联
2、欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件及2件,现在选择商店中单价为3元,2元和1元的礼品,则至少要花_元,至多花_元()A20,23B19,25C21,23D19,24【解析】单价大小排列为3,2,1,待买礼品数量排列为5,4,2,任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和35241225,最小值是逆序和32241519.【答案】B4设a1,a2,a3为正数,则与a1a2a3大小关系为()ABC0,于是,a2a3a3a1a1a2,由排序不等式:顺序和乱序和,得a2a3a3a1a1a2a3a1a2,即a1a2a3.【答案】B5a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,则a1b
3、a2banb的最小值是()A1BnCn2D无法确定 【解析】设a1a2an0.可知aaa,由排序原理,得a1ba2banba1aa2aanan.【答案】B二、填空题6设ab0,则a3b3与a2bab2的大小关系是_【解析】ab0,a2b20,因此a3b3a2bab2(排序不等式)【答案】a3b3a2bab27有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为_ s.【解析】等候的最短时间为:3443527141(s)【答案】418若a0,b0且ab1,则的最小值是_. 【导学号:94910034】【解析】不妨
4、设ab0,则有a2b2,且.由排序不等式得a2b2ab1,当且仅当ab时,等号成立的最小值为1.【答案】1三、解答题9设a,b,c为正数,求证:a10b10c10.【证明】由对称性,不妨设abc0,于是a12b12c12,故由排序不等式:顺序和乱序和,得.又因为a11b11c11,.再次由排序不等式:逆序和乱序和,得.所以由,得a10b10c10.10已知0(sin 2sin 2sin 2)【证明】0,且ysin x在为增函数,ycos x在为减函数,0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得:乱序和逆序和又本题中等号不可能取到,sin cos sin cos sin cos (s
5、in 2sin 2sin 2)能力提升1已知a,b,c为正数,则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零【解析】设abc0,所以a3b3c3,根据排序原理,得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc,a2b2c2,所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab,所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B2锐角三角形中,设P,Qacos Cbcos Bccos A,则P,Q的关系为()APQBPQCPQD不能确定【解析】不妨设ABC,则abc,cos Ac
6、os Bcos C,则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.【答案】C3设a,b,c是正数,则aabbcc_(abc).【解析】不妨设abc0,则lg alg blg c,据排序不等式有:alg ablg bclg cblg aclg balg c,alg ablg bclg cclg aalg bblg c,以上两式相加,再两边同加alg ablg bclg c,整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c),即lg(aabbcc)lg(abc),故aabbcc(abc) .【答案】4设a,b,c大于0,求证:(1)a3b3ab(ab);(2).【证明】(1)不妨设abc0,则a2b2c20,a3b3a2ab2ba2bb2a,a3b3ab(ab)(2)由(1)知,同理b3c3bc(bc),c3a3ac(ca)所以.故原不等式得证