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1、 高三导数复习 导数概念与运算知识清单1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。说明:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤(可由学生来归纳):(1)求函数的增量=f(x
2、+)f(x);(2)求平均变化率=;(3)取极限,得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为yy=f/(x)(xx)。3几种常见函数的导数: ; ; ; .4两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数
3、的导数: 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:=(v0)。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。法则:y|= y| u|导数应用知识清单1 单调区间:一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;2极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;3最值:一般地,在区间a,b上连续的函数f在a,b上必有最大值与最小值。求函数在(a,b)内的极值;求函数在区间端点
4、的值(a)、(b);将函数 的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。4定积分(1)概念:设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点ax0x1xi1xixnb把区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi1,xi上取任一点i(i1,2,n)作和式In(i)x(其中x为小区间长度),把n即x0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作:,即(i)x。这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式:C;C(mQ, m1);dxlnC;C;C;sinxC;c
5、osxC(表中C均为常数)。(2)定积分的性质(k为常数);(其中acb。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa,xb(ab),x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x),y2f2(x)(不妨设f1(x)f2(x)0),及直线xa,xb(ab)围成,那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。考点1:导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 【问题1】例1.是的导函数,则的值是 演练例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考点2:曲线的切线(1)关于
6、曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .(2)已知函数在区间,内各有一个极值点(I)求的最大值;(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式演练1若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为 .演练2过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 .演练
7、3过点(1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则切线的方程为 .演练4.已知两抛物线, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.演练5已知定义在正实数集上的函数,其中设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同(I)用表示,并求的最大值;(II)求证:()考点3:导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
8、1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式。【问题3】函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点 个. yxO12-13演练1对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1) f (x) 0,则必有f(0)f(2)- 2f(1) 0. 演练2函数y= f(x)在定义域内可导,其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x),则不等式f (x)0的解集为 .【问题4】设函数在及时取得极值()求a、b的值; ()若对于任意的,都有成立,求c的取值范围演练1已知函数在点处取得极大值,其导函数的
9、图象经过点,如图所示.求: ()的值; ()的值.演练2函数的值域是_.【问题5】设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.考点4:导数的实际应用建立函数模型,利用【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?变式统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:已知甲、乙两地相距100千米.(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(II)当汽车以多大的速度匀速行驶
10、时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?PEDFBCA【问题10】如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积(1)求的表达式; (2)当为何值时,取得最大值? 【专题训练与高考预测】1设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .2函数在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是 .3函数的零点所在的区间是 .4函数的单调递增区间是5曲线在点处的切线方程是6.f(x)=ax3+3x2+2,f(-1)=4,则a= 7.过抛物线y=x2上的点M()的切线的倾斜角是 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值
11、范围是 . 9.函数y=x3-3x+3在上的最小值是 10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则 . 11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的递增区间是 .12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. 13.若f(x0)=2, _.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.15.函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.16.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_时它的面积最大.17.已知曲线C:y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l
12、与C切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.18.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值; (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.Key: 导数复习 考点1:导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 【问题1】是的导函数,则的值是 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.解答过程 故填3.演练例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考查目的本题主要考查函数的导数和集
13、合等基础知识的应用能力.解答过程由综上可得MP时, 考点2:曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .解析:曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1,它们与x轴所围成的三角形的面积是.(2)已知函数在区间,内各有一个极值点(I)求的最大值;(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧)