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1、 高三导数复习 导数概念与运算知识清单1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x
2、+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3几种常见函数的导数: ; ; ; .4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数
3、的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|导数应用知识清单1 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点
4、的值(a)、(b)；将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；c
5、osxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。考点1:导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】例1.是的导函数，则的值是 演练例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考点2:曲线的切线（1）关于
6、曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .（2）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式演练1若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 .演练2过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 .演练
7、3过点（1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 .演练4.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.演练5已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）考点3：导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
8、1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。【问题3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个. yxO12-13演练1对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1) f (x) 0，则必有f(0)f(2)- 2f(1) 0. 演练2函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)0的解集为 .【问题4】设函数在及时取得极值（）求a、b的值； （）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围演练1已知函数在点处取得极大值，其导函数的
9、图象经过点，如图所示.求： （）的值； （）的值.演练2函数的值域是_.【问题5】设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.考点4：导数的实际应用建立函数模型,利用【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶
10、时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？PEDFBCA【问题10】如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式； （2）当为何值时，取得最大值？ 【专题训练与高考预测】1设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .2函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 .3函数的零点所在的区间是 .4函数的单调递增区间是5曲线在点处的切线方程是6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，则a= 7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值
11、范围是 . 9.函数y=x3-3x+3在上的最小值是 10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则 . 11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的递增区间是 .12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. 13.若f(x0)=2, _.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.15.函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.17.已知曲线C：y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l
12、与C切于点(x0,y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标.18.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.Key: 导数复习 考点1:导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】是的导函数，则的值是 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.解答过程 故填3.演练例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考查目的本题主要考查函数的导数和集
13、合等基础知识的应用能力.解答过程由综上可得MP时, 考点2:曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.（2）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧）
