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1、第第1 1节节 多元函数及其连续性多元函数及其连续性第一节第一节 多元函数及其连续性多元函数及其连续性一一 多元函数的概念多元函数的概念1. 平面点集: 将 x, y 看作平面上的点的坐标,则两个变量的变化范围就相当于平面上的一个点集.(1) 邻域:(2) 内点:设 ,如果存在 ,则称 为E的内点.全部由内点组成的集合称为开集.(3) 边界点: 若P的任意邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则P为边界点.边界点的集合称为边界.多元函数及其微分法多元函数及其微分法设E 为开集,若E 中任何两点都能用位于E 内的折线连接起来,则称E为开区域.(4) 区域:开区域+边界称为闭区域区域如果存在正数
2、M,使得E中任何点到原点的距离都小于M,则称E 为有界域,否则无界域.注意:以上概念可推广到 n 维空间.2. 二元函数的定义设D是平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变量z按照一定的法则,总有确定的值和它对应,则称z是x,y的二元函数自变量因变量定义域的范围为值域例(1)定义域是无界闭区域定义域是有界闭区域11113. 二元函数的图形 将 x, y, z 看作空间直角坐标系中点的坐标,则二元函数通常表示一张曲面. 它在 xoy 面上的投影就是函数的定义域.二二.二元函数的极限二元函数的极限定义: 设函数f(x,y)在区域D内有定义, 是D 的内点或边界点,当 时则xyzz=f(x,y
3、)也可表示为注: (1).二元函数的极限称为二重极限;(2).二重极限存在,是指P(x,y) 以任何方式趋于 时, f(x,y)都无限接近于A.故如果P(x,y)沿不同路径趋于 时, f(x,y)趋于不同的值,可断定极限不存在.(3).以上定义可推广到 n 元函数.(4).极限运算法则与一元类似.当P(x,y)沿 x 轴和 y 轴趋于(0,0)时, f(x,y)趋于0.当P(x,y)沿 y=x 趋于(0,0)时, f(x,y)趋于1/2.故 不存在.例2.例1.三三.二元函数的连续性二元函数的连续性定义: 设函数 f(x,y)在区域D内有定义, 是D的内点或边界点且 ,若则称 f(x,y)在点
4、 处连续.注:(1).若函数 f(x,y) 在区域D内每一点都连续,则称 f(x,y) 在 D内连续或 f(x,y) 是D内的连续函数.(2).二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质.例如:和,差,积,商及复合性质.例如:有界闭域上的二元连续函数也有最大(小)值定理和介值定理.(3).二元初等函数在其定义区域内连续.由x和y的基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的一个式子的函数定理1 在有界闭域D上连续的函数 f(x,y) 必有最大值和最小值.定理2 在有界闭域D上连续的函数 f(x,y), 如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.此结论对研究
5、二元函数的连续性和求极限很有帮助.例3.初等函数定义域内的点例4.例5.讨论连续性:初等函数除 外处处连续.除(0,0)外处处连续.(0,0)点极限不存在间断线第第2 2节节 偏导数与全微分偏导数与全微分第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一.偏导数偏导数1.偏导数的偏导数的定义定义定义定义 设设z=f(x,y) 在点在点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,当当y固定在固定在 时时,得一元函数得一元函数 , z=f(x,y)在点在点 处对处对x的偏导数的偏导数 类似的类似的, z=f(x,y)在点在点 处对处对y的偏导数的偏导数 注注: (1).若二元函数若二元函数z=f(x,y)在在
6、D内每一点都有偏导数内每一点都有偏导数,则此偏则此偏 导数也是导数也是 x,y 的函数的函数-偏导函数偏导函数.(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元二元函数偏导数定义可以推广到更多元.例如例如: u=f(x,y,z)(3).由偏导数定义由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数一元函数的求导法则可用于求偏导数.例如例如:求求 时时,只要将只要将y视为常数视为常数,求求 f(x,y)关于关于 x 的导数的导数.例例1.求求例例2.求偏导数求偏导数例例3.求求分段点处偏导分段点处偏导数要用定义求数要用定义求例例4.在在(0,0)点是否连续点是否连续?是否有偏导数是否有偏导数?故在故在(0
7、,0)点连续点连续.由定义易知在由定义易知在(0,0)点偏导数不存在点偏导数不存在.注意注意: 对于一元函数对于一元函数,可导必连续可导必连续.而对于多元函数而对于多元函数,从以上从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.2. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义表示曲面表示曲面z=f(x,y)与平面与平面 的交线的交线L在点在点 处的切线处的切线 对对x 轴的斜率轴的斜率表示曲面表示曲面z=f(x,y)与平面与平面 的交线的交线L在点在点 处的切线处的切线 对对y 轴的斜率轴的斜率二二.高阶偏导数高阶偏导数二元函数二元函数 z=f(x,y)
8、的偏导数的偏导数 仍为仍为 x, y 的函数的函数.它们的偏导数称为它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数的二阶偏导数.混合偏导数混合偏导数类似的定义三阶以上偏导数类似的定义三阶以上偏导数定理定理 若若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数 在在(x,y)连续连续,则则(适用于三阶以上适用于三阶以上)例例5.求求例例6.求求三三. 全微分的概念全微分的概念1.全增量全增量: 设设 z=f(x,y) 在点在点P(x,y) 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,全增量全增量2.定义定义: 如果如果 z=f(x,y) 在点在点 (x,y) 的全增量的全增量可以表示为可以表示为仅与仅
9、与x,y有关有关则称则称 z=f(x,y) 在点在点 (x,y) 可微分可微分称为称为 z=f(x,y) 在点在点(x,y) 的的全微分全微分注注:(1).若函数在区域若函数在区域D内处处可微分内处处可微分,则称它在则称它在D内可微分内可微分.(2).可微分一定连续可微分一定连续.(3).全微分特征全微分特征:全微分是自变量增量的线性函数全微分是自变量增量的线性函数;全微分与全增量之差是比全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小高阶的无穷小注注:(1).与一元函数类似与一元函数类似:(2).此定理反之不然此定理反之不然,这是与一元函数的区别这是与一元函数的区别.例如例如:但是函数在但是函数在(0,
10、0)不可微不可微.四四. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数的关系定理定理1(可微的必要条件可微的必要条件)若函数若函数 z=f(x,y) 在点在点(x,y)可微分可微分,则称它在该点的偏导数必则称它在该点的偏导数必存在存在,且且以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上定理定理2(可微的充分条件可微的充分条件)若函数若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点的偏导数在点 (x,y) 连续连续,则函数在该点可微则函数在该点可微.注意注意:反之不然反之不然.例如例如:在点在点(0,0)处可微处可微,但偏导数不连续但偏导数不连续.(证明略证明略)例例6
11、.求求 在在(2,1)点的全微分点的全微分例例7.求求 的全微分的全微分注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别一元函数一元函数: 可导可导可微可微连续连续多元函数多元函数:可偏导可偏导可微可微连续连续偏导数连续偏导数连续练练习习第三节第三节 多元复合函数微分法多元复合函数微分法第三节第三节 复合函数的微分法复合函数的微分法一一. 复合函数的微分法复合函数的微分法一元复合函数的微分法则一元复合函数的微分法则-链导法链导法:推广推广定理定理1 设设 和和 都在点都在点x可导可导,而而z=f(u,v)在对应点在对应点 (u,v)可微可微,则复合函数则复合函数
12、 在点在点x可导可导,且且注注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数上述定理可推广到所有的多元复合函数.全导数全导数2. 因为多元复合函数类型复杂因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式所以不要死记公式,要学会用要学会用 复合关系图复合关系图.(证明略证明略)uzvx例如例如:定理定理2 设设 和和 都在点都在点(x,y)可偏导可偏导,而而z=f(u,v) 在对应点在对应点(u,v)可微可微,则复合函数则复合函数 在在 点点(x,y)可偏导可偏导,且且zuvwxzuvxy类似的类似的:zuvwxy类似的类似的: 对对x的偏导数的偏导数 对对x的偏导数的偏导数注意符号的区别注意符号的区别zx
13、uyxy例例1.求求解法一解法一: 将将 u,v 带入解出偏导数带入解出偏导数;解法二解法二: 用链导法用链导法:由此例看出由此例看出,链导法对于链导法对于具体函数具体函数帮助不大帮助不大例例2.求求解法一解法一: 解法二解法二: 例例3.可微可微,证明证明例例4.可微可微,证明证明二二. 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数例例5.具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求注意注意:例例6.具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求三三. 全微分形式不变性全微分形式不变性若若则对则对全微分形式不变性全微分形式不变性注注:(1).利用全微分形式不变性可得出与一元函数类似的微分利用全微分形式
14、不变性可得出与一元函数类似的微分 法则法则;(2).可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数.例如前面例例如前面例1:解法三解法三:练练习习第第4 4节节 隐函数微分法隐函数微分法第四节第四节 隐函数及其微分法隐函数及其微分法一一.一个方程的情形一个方程的情形所确定的隐函数所确定的隐函数:上册已经介绍过求导方法上册已经介绍过求导方法定理定理1(一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理)设设F(x,y) 在点在点 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数,且且则方程则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能在该邻域内恒能唯一确定一个单值连续且
15、具有连续导数的函数唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足满足并有并有:因为因为两边对两边对x求导求导:注注:1.若存在二阶连续偏导数若存在二阶连续偏导数,则则2.可推广到二元隐函数可推广到二元隐函数.此公式不实用此公式不实用证证:定理定理2 (二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理)设设F(x,y,z) 在点在点 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数,且且则方程则方程F(x,y,z)=0在该邻域在该邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),满足满足 并有并有:所确定的隐函数所确定的隐函数:
16、因为因为两边分别对两边分别对 x,y 求偏导求偏导:证证:例例1.求求注意注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导.解法一解法一:解法二解法二:将将 z 视为视为 x , y 的函数的函数,方程两边分别对方程两边分别对 x , y 求偏导求偏导(过程略过程略)例例2.设设 y = f ( x, t ),而而 t 是由是由 所确定的函数所确定的函数,且且 可微可微.求求 xy t x隐函数求导隐函数求导方程方程 两边对两边对 x 求偏导求偏导:例例3.求求注注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形.二二.方程组情形方程组情形例如例如有可能确定两个二元函数有可能确定两个二元函数.存在定理略去存在定理略去,只讨论其微分法只讨论其微分法.例例4.求求各方程两边对各方程两边对x求偏导求偏导:解方程组得解方程组得:例例5.求求各方程两边对各方程两边对x求偏导求偏导:解方程组得解方程组得:同理同理,各方程两边对各方程两边对y求偏导求偏导,可得可得:思考练思考练习习 多多 元元 函函 数数 微微 分分 学
