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1、精品资源空间问题一题多解的思维探索陕西洋县中学（723300） 刘大鸣空间向量及运算学习后， 为处理特殊的位置和求解空间角及距离寻求到了不同求解的思维方法。例 1 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1 B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM与 CN所成的角为310C.arccos3D.arccos 2A.arccosB.arccos21055【思维展示】异面直线所成的角，依据定义平行移动会产生传统的思维方法1在面 AB1 内平移 AM线段，注意其特殊性，取 E 为 AB的中点， F 为 EF的中点，连结 NF，CF，则 FNC 为直线 AM与 CN所成的
2、角或补角，设正方形边长为 4，则CN B1E2025, NF205, FC17, cos FNC2选D；252异面直线所成的角，利用空间向量数量积的夹角产生思维方法 AM =AA1+A1M，=CB+BN， AM =（ AA1+ A1M）（CB+BN）CNCN=AA1BN=1.而2| AM|=( AA1A1M ) (AA1A1M)=| AA1 |2|A1M |2 =11= 5.421同理， | CN |=5 . 如令 为所求之角，则 cos=AMCN=2 =2，2| AM |CN |554 =arccos 2 .5异面直线所成的角，利用空间向量的坐标表示会产生思维方法3建立如下图所示坐标系，把D
3、 点视作原点 O，分别沿 DA 、 DC 、 DD 1 方向为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向，则A（1，0，0），M（1， 1 ， 1），C（0，1，0），N（1，21， 1）. AM =（1， 1 ，1）（ 1，0，0）=（0， 1，1），222CN =（1，1， 1 ）（ 0，1，0）=（1，0， 1）. 故 AM CN =01+1 0+1222 1=1，22| AM|= 02(1)212 =5，| CN|= 1202(1)2= 5.2222欢迎下载精品资源cos = AM CN =12= 2 .| AM |CN |55 522 =arccos 2 .答案： D；5【学习体验】异面直线
4、所成的角，依据概念平行移动构成解三角形， 这需要填加辅助线完成；借助空间向量的数量积的两种形式的夹角处理， 可避免做辅助线， 利用向量的代数运算进行逻辑推理，简单且有操作性。例 2 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1的各棱长都等于 2，D 在AC1上， F为BB1中点，且 FD AC1（ 1）试求 AD 的值；DC1（ 2）求二面角 F AC1 C 的大小；（ 3）求点 C1 到平面 AFC 的距离【思维展示】两种不同的思维方法探究空间中的特殊位置关系，角和距离问题，传统的方法 1(1) 连 AF， FC1 ，三棱柱 ABCA1 B1C1 是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1 中点， R
5、t ABFRt C1 B1 F ，AF FC 1 又在 AFC1 中， FDAC1 ，所以 D为 AC1 的中点，即AD =1DC1(2) 取 AC的中点 E，连接 BE及 DE，易得 DE与 FB平行且相等，四边形 DEBF 是平行四边形，FD 与 BE平行三棱柱 ABC A1B1C1 是正三棱柱，ABC 是正三角形，BEAC， FD AC又 FD AC1， FD平面 ACC1 ，所以二面角 FAC1C 的大小为 90 (3)运用等积法求解，AC2，AF CF5 ，可求 S ACF2 ，VFACC1VB ACC1 13223 ， VF ACC1VC1ACF1 SACF h ， 求 得333h
6、 312 分利用空间向量的坐标表示的思维方法 2取 BC的中点 O，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A(0，0， 3），（B 1，0，0）， C（ 1，0，0），B（1, 2, 0）, C（1, 2, 0）, F（1, 1, 0）11欢迎下载精品资源(1) 设AD,23(1213AC1 ( 1,2,3)., D (1,), FD1,),DC11111 FD AC1， FDAC10, 即121(3)3解 得1, 即120,111AD1.DC1(2) 设平面 FAC1的一个法向量为 n1( x1 ，y1，1) AF(1, 1,3) ，由 n1AF 得 x1 y13 0,又由 n1AC1，得
7、x12y130,x13 ,3233 n1 (, 1)y2 3 .3313仿上可得平面 ACC1的一个法向量为 n2(3, 0, 1) 1n232 31 n2n301 10 ， n33故二面角 FAC1C 的大小为 90 (3) 设平面 AFC的一个法向量为 n（ x，y，1），由 n AF，得 xy30；又 AC(1, 0,3)，由 n AC ，得 x30 解得 x3, n(3,2 3,1)y2 3. C1到平面 AFC的距离为d| n AC1 | | 1 ( 3) 2 2 33 1| n | (3) 2(2 3)21 |3.如图，已知长方体 ABCDA1BC1 1 D1 ，AB 2, AA1
8、1，直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 300 ， AE 垂直 BD 于 E, F 为 A1B1的中点（）求异面直线 AE 与 BF 所成的角；（）求平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角（锐角）的大小；（）求点 A 到平面 BDF 的距离解法一：（向量法）在长方体ABCD A1 BC11D1 中，以ABAD所在直线为y轴，所在直线为 x 轴，AA1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图由已知AB2, AA11 ，可得A(0, 0, 0), B (2, 0, 0),F(1, 0,1)欢迎下载精品资源又 AD平面 AABB，从面 BD 与平面 AABB所成的角即为1111DBA
9、300又 AB2, AEBD, AE1, AD23从而易得 E( 1 ,3 ,0), D (0, 23 ,0)3223（）AE(1 ,3 ,0), BF (1,0,1)22AE BF12cosAE, BF2AE BF24即异面直线 AE 、 BF 所成的角为 arccos24（）易知平面 AA1B 的一个法向量 m(0,1,0)设 n( x, y, z) 是平面 BDF 的一个法向量 BD(2,2 3,0)3由 nBFn BF0xx 0xz2 3 y 02x3x yn BDn BD 03取 n(1,3,1) cosm, nm n315m n155即 平 面BDF与平面1所成二面角（锐角）大小为A A Barccos155（）点 A 到平面 BDF的距离，即 AB 在平面 BDF的法向量 n 上的投影的绝对
