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1、人教版数学八年级下18.2.1 18.2.1 矩形的判定矩形的判定1.四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合1：定义：有一个角是：定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。课前回顾课前回顾: :2.边边对角线对角线角角ABCDO矩形对边矩形对边平行平行且且相等相等；矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角；矩形的对角线矩形的对角线相等相等且且平分平分；3：直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边
2、上的中线等于斜边的一半2：性质：性质：课前回顾课前回顾: :3.新课探究新课探究: :请同学们先预习教材P54页内容，然后小组合作探究： 矩形有哪些判定方法矩形有哪些判定方法4.有有一个角是直角一个角是直角的平行四边形是的平行四边形是矩形矩形A=90A=90，四边形，四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.ABCD合作归纳合作归纳: :矩形的判定定理矩形的判定定理 定理定理1 1（定义法）（定义法） A=B=D=90A=B=D=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. 定理定理2 2： 有有三个角是直角三个角是直角的四边形是的四边形是矩形矩
3、形5.对角线相等对角线相等的平行四边形是的平行四边形是矩形矩形AC=BDAC=BD，四边形，四边形ABCDABCD为为平行四边形平行四边形四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.合作归纳合作归纳: :矩形的判定定理矩形的判定定理 定理定理3 3 AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. 定理定理3 3推论：推论： 对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等的四边形是的四边形是矩形矩形ABCDO6.已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.证明: A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形
4、.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.定理证明定理证明ABCD定理定理3 3：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形 A=90,7.证明证明： 在在ABCD中AB=DC,BD=CA,AD=DABADCDA( (SSS) )BAD=CDAABCDBAD + +CDA=180=180 BAD9090 四边形四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）是矩形）定理定理3 3：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,AC=BD四边形四边形ABCD是矩形是矩
5、形已知已知:求证求证:定理证明定理证明8.（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（）矩形具有而平行四边形不具有的性质（）（A）内角和是）内角和是360度度 （B）对角相等）对角相等 （C）对边平行且相等）对边平行且相等 （D）对角线相等）对角线相等（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（）下面性质中，矩形不一定具有的是（）（A）对角线相等）对角线相等 （B）四个角相等）四个角相等 （C）是轴对称图形）是轴对称图形 （D）对角线垂直）对角线垂直DD1.选择题选择题课堂练习课堂练习9. （3）、如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是 EAC、 MCA、 ACN
6、、 CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定 课堂练习课堂练习C10.2.判断题判断题对角线相等的四边形是矩形。对角线相等的四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。两个角都是直角的四边形是矩形。两个角都是直角的四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。对角线相等且有一个角是直角的四边形是对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。矩形。对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。课堂练
7、习课堂练习11.3如图，ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形.证明：证明： AB=6,BC=8,AC=10即：即：62+82=102 AB2+BC2=AC2 ABC=900（勾股定理逆定理（勾股定理逆定理） ABCD是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCD是矩形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形)课堂练习课堂练习ABCDO12.4：如图：若要从这张四边形纸板中剪出一个平行四边如图：若要从这张四边形纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形的四形，并且使它的四个顶点分别落在四边形的四条边上，可怎样剪？
8、条边上，可怎样剪？变式（变式（1）四边形四边形ABCD满足什么条件，中点四边满足什么条件，中点四边形形EFGH为矩形？为矩形？解：解：分别取分别取AB、BC、CD、DA的中点的中点E、F、G、H，则剪的四边形，则剪的四边形EFGH为平行四边形为平行四边形两条对角线互相垂直，两条对角线互相垂直， 课堂练习课堂练习13.变式（变式（2）：）：如图如图,在四边形在四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，点，点M、N、P、Q分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点的中点.求证求证:四边形四边形MNPQ是矩形是矩形.课堂练习课堂练习14.已知：如图矩形已知：如图矩形ABCD的对角线的对角线AC、B
9、D相交于点相交于点O，且，且E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形的中点，求证四边形EFGH是矩形是矩形证明证明： 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 AO=BO=CO=DO又又 E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO的中点的中点 OE=OF=OG=OH 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 EO+OG=FO+OH即即EG=FH 四边形四边形EFGH是矩形（对角线相等的是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。平行四边形是矩形）。课堂练习课堂练习变式（变式（3）：）：15.例例4：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那如果平行四边形四个内
10、角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形么这个四边形是矩形已知：如图，已知：如图，ABCD的四个内角的平的四个内角的平分线分别相交于分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形求证：四边形EFGH为矩形为矩形BGC=90同理可证同理可证 AFB= AED=90 四边形四边形EFGH是矩形是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形)证明：证明： AB CDABC BCD=180 BG平分平分 ABC，CG平分平分 BCD16.已知：如图已知：如图,矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相相交于点交于点O，E、F、G、H分别是分别是AO、BO、CO、DO上的一点上
11、的一点,且且AE=BF=CG=DH.求证求证:四边形四边形EFGH是矩形是矩形变式一变式一:BCDEFGHOA17.3 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和提示：过点提示：过点P分别作分别作PE AC,PF BD,分别交分别交AC,BD于点于点E,F.设设AC与与BD相交于相交于O,连结连结PO,利用利用 PAO与与 PDO的面积之和的面积之和是矩形面积的四分之一，求是矩形面积的四分之一，求得结果为得结果为120/17.18.5. 如图，ABC中，AB=AC, AD、AE分别是A与A的外角的平分线，B
12、EAE.求证： AB=DE.证明：证明： AB=AC,AD平分平分 BAC AD BC, 1= BAC/2(等腰三角形三线合一）等腰三角形三线合一） AE平分平分 BAF 2= BAF/2 BAC+ BAF=1800 1+ 2=( BAC+ BAF)/2=900 BE AE BDA= DAE= BEA=900 四边形四边形BDAE是矩形（是矩形（有三个角有三个角是直角的四边形是矩形是直角的四边形是矩形）1 2F19. 平行四边形平行四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相相交于点，点是四边形外一点，且交于点，点是四边形外一点，且PAPC,PBPDPAPC,PBPD，垂足为
13、。，垂足为。 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD为矩形为矩形例例2 2 ：20. 已知已知ABCABC中中, ,点点OO是是ACAC边上的一个动点边上的一个动点, ,过点过点O O作作直线直线MNBC,MNBC,设设MNMN交交BCABCA的平分线于点的平分线于点E,E,交交BCABCA的外角平分线于点的外角平分线于点F.(1)F.(1)求证求证:EO=FO;(2) :EO=FO;(2) 当当点点O O运动到何处时运动到何处时, ,四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形, ,并说明理由并说明理由. .MOABCEFN议一议议一议FEACOMNB21.拓展：拓展：在直角坐标系中有点在直角坐标系中有点A A（a a，b b），），B B（a a，c c），），C C（-a-a，-b-b），），D D（-a-a，-c-c）其中）其中a a和和b b不等不等于于0 0。若要使四边形。若要使四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， b b， c c应满足应满足什么条件？说明理由。什么条件？说明理由。22.
