2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题汇编概率局部1．〔全国1〕甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立前2局中，甲、乙各胜1局〔1〕求甲获得这次比赛胜利的概率；〔2〕设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望解：〔1〕记表示事件：第局甲获胜，；表示事件：第局甲获胜，表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲获胜2局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故〔2〕的取值可以为2，3，由于各局比赛结果相互独立，故所以随机变量的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 随机变量的数学期望2．〔全国2/20〕某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法〔层内采用不放回简单随机抽样〕从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
〔I〕求从甲、乙两组各抽取的人数； 〔II〕求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；〔III〕记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望 0 1 2 3 P 所以的数学期望3．〔山东11〕在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 〔A〕 (B) (C) (D) 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.应选A.答案:A【命题立意】:此题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.4．〔山东19〕在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否那么投三次某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 求的值；求随机变量的数学期量； 试比拟该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
解:〔1〕设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,那么事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.〔2〕当=2时, P1= =0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24当=3时, P2 ==0.01,当=4时, P3==0.48,当=5时, P4==0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望〔3〕该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择〔1〕中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.【命题立意】:此题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.5．〔北京17〕某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。
〔Ⅰ〕求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 〔Ⅱ〕求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望解析】此题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等根底知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.〔Ⅰ〕设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯〞，所以事件A的概率为.〔Ⅱ〕由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8〔单位：min〕. 事件“〞等价于事件“该学生在路上遇到次红灯〞〔0，1，2，3，4〕，∴， ∴即的分布列是02468∴的期望是.6．〔湖北3〕投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,那么复数〔m+ni〕(n-mi)为实数的概率为A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】因为为实数所以故那么可以取1、26，共6种可能，所以7．〔湖北16〕一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。
现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望解析：依题意，可分别取、6、11取，那么有的分布列为567891011 8．〔福建16〕从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个〔1〕记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；〔2〕记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E解：本小题主要考查排列组合、概率与统计等根底知识，考察数据处理能力、运算求解能力考查分类与整合思想、化归与转化思想，总分值13分解：〔1〕记：“所取出的非空子集满足性质r〞为事件A，根本领件总数事件A包含的根本领件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}；事件A包含的根本领件数，〔2〕依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5又，，，12345故的分布列为从而9．〔江苏5〕现有5根竹竿，它们的长度〔单位：m〕分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .[解析] 考查等可能事件的概率知识从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
10．〔浙江19〕在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数.〔Ⅰ〕求这3个数中，恰有一个是偶数的概率； 〔Ⅱ〕记ξ为这三个数中两数相邻的组数，〔例如：假设取出的数1、2、3，那么有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2〕求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.解析：〔I〕记“这3个数恰有一个是偶数〞为事件A，那么；〔II〕随机变量的取值为的分布列为012P所以的数学期望为11．〔安徽17〕某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量写出X的分布列〔不要求写出计算过程〕，并求X的均值〔即数学期望〕解：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识表达数学的科学价值本小题总分值12分随机变量X的分布列是X123PX的均值为附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。
12．〔重庆6〕锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取4个汤圆，那么每种汤圆都至少取到1个的概率为〔 〕A． B． C． D．答案：C 13．〔辽宁19〕某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为该目标分为3个不同的局部，第一、二、三局部面积之比为1：3：6击中目标时，击中任何一局部的概率与其面积成正比〔Ⅰ〕设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；〔Ⅱ〕假设目标被击中2次，A表示事件“第一局部至少被击中1次或第二局部被击中2次〞，求P〔A〕 解：〔Ⅰ〕依题意X的分列为〔Ⅱ〕设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i局部〞，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i局部〞，i=1，2.依题意知P〔A1〕=P(B1)=0.1，P〔A2〕=P(B2)=0.3，,所求的概率为 14．〔陕西19〕0123p0.10.32aa 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：〔1〕求a的值和的数学期望；〔2〕假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解析:〔1〕由概率分布可知：0.1+0.3+2a_a=1,解得a=0.2 的概率分布为：0123p0.10.30.40.2〔2〕设事件A表示“两个月内共被投诉2次〞，事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次〞，事件A2表示“两个月内每个月被投诉1次〞， 那么有时间的独立性可知故，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率是0.0715．〔天津18〕在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
从这10件产品中任取3件，求：〔I〕 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； 〔II〕 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等根底知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力总分值12分〔Ⅰ〕解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=。