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1、清单36 二项式定理一、知识与方法清单1.二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)；(2)通项公式：Tk1Cankbk，它表示第k1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C.【对点训练1】(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.【对点训练2】已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则（ ）A7B6C5D43
2、.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与1项的二项式系数相等且最大(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.【对点训练3】（2022届上海市建平中学高三上学期10月月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项A3B4C5D64.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(abx)n的二项展开式中，第k1项的二项式系数是C，而该项的系数是Cankbk.当然，在某些二项展开式
3、中，各项的系数与二项式系数是相等的.【对点训练4】（2021上海市青浦高级中学高三上学期9月开学考试）已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是_.5.求形如(ab)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr1或者其他量.【对点训练5】若展开式的二
4、项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A10B20C30D1206.求形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(ab)m与(cd)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(ab)m与(cd)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 【对点训练6】（2021百师联盟2021届高三二轮联考）已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则非零常数的值为_7.求形如(abc)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和abc看成是(ab)与c两项的和；第
5、二步，根据二项式定理写出(ab)cn的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(ab)nr的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 【对点训练7】设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为_ .8.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可.(2)形如(axby
6、)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.【对点训练8】若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为_.9.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0a2a4.(3)偶数项系数之和为a1a3a5.【对点训练9】已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：（1）a0a1a2a5；（2）|a0|a1|a2|a5|；（3）a1a3a5.10.求二项展开式中的有理项.对于有理数,一般是根据通
7、项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解，求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【对点训练10】（2022届江苏省镇江市高三上学期期初）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.11.逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.特别提醒：逆用二项式定理
8、时如果项的系数是正负相间的,则是(a-b)n的形式.12.利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：余数的范围，acrb，其中余数b0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；二项式定理的逆用.【对点训练12】（2022届江西省智学联盟体高三上学期第联考）已知是（为正奇数）被9除的余数，则的值为
9、（ ）ABCD13. 利用二项式定理求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大,|x|比较小时,(1+x)n1+nx.【对点训练13】求的近似值(精确到两位小数)14.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.【对点训练14】（2022届辽宁省凤城市高三上学期10月月考）在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则（ ）A8B9C10D1115.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各
10、项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,An,且第r+1项最大,应用解出r,即得出系数的最大项.【对点训练15】已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则_.二、跟踪检测一、单选题1的展开式中的系数为（ ）A40B80CD2（2022届江西省赣抚吉名校高三8月联考）的展开式中含项的系数为（ ）A60B240C60D2403（2022届上海市高三上学期一模）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）A4项B7项C5项D6项4（2022届吉林省吉林市高三上学期10月月考）若二项
11、式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）ABCD5（2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试）若，则等于（ ）ABCD6（2022届江西省景德镇高三10月月考）的展开式中，的系数为（ ）ABCD7（2022届福建省莆田市高三10月月考）若，则（ ）A56B448CD8（2022届上海市复旦中学高三上学期9月月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）ABCD79展开式中的系数是（ ）A10BC5D10（2021届湖南省新高考高三下学期考前押题）的展开式中有理项的项数为（ ）A3B4C5D611已知，则（ ）ABCD12设、为整数，若和被除
12、得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，则的值可以是A2010B2011C2008D2009二、多选题13已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）A7B8C9D1014已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A2，n，10成等差数列B各项系数之和为64C展开式中二项式系数最大的项是第3项D展开式中第5项为常数项15（2022届河北省邢台市高三上学期9月联考）的展开式中（ ）A常数项为1B的系数为C的系数为0D各项的系数之和为零16若，则（ ）ABCD17（2021届江苏省南京市、盐城市高三下学期3月二模）已知，设，其中则（ ）ABC若，则D18对于二项式，
13、以下判断正确的有（ ）A存在，展开式中有常数项B对任意，展开式中没有常数项C对任意，展开式中没有的一次项D存在，展开式中有的一次项三、填空题19（2022届广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若，则的值为_.20（2021届福建省福州高三上学期质量检测）若二项式的展开式中二项式系数和为64，则该二项展开式的常数项的值为_21若n是正整数，则除以9的余数是_.四、解答题22设，.（1）化简：；（2）已知.记.证明：能被整除.23设 （，）（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为38，求k的值；（2）设（），且各项系数，互不相同现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，第n列n个数设是第i列中的最小数，其中，且i，记的概率为求证：
