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1、广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡 位置的位移位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间 t 按余按余 弦（或正弦）规律变化的振动。弦（或正弦）规律变化的振动。简谐运动简谐运动复杂
2、振动复杂振动合成合成分解分解 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .一、一、弹簧振子弹簧振子：则有则有：令：其通解为其通解为 ：此称简谐振动微分方程此称简谐振动微分方程胡克定律胡克定律根据牛二：根据牛二：补充补充 XtO弹簧振子的运动图线弹簧振子的运动图线结论结论：单摆的小角度振动单摆的小角度振动是简谐振动。其角频率、是简谐振动。其角频率、振动的周期分别为：振动的周期分别为：当当 时时单摆单摆 二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似摆球对摆球对C点的力矩点的力矩l l令令则则角位移随时间按正弦（或余弦）关系变化角位移随时间按正弦（或余弦）关系变化其通解为：其通解为：
3、一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的简谐振动的运动学方程运动学方程由于由于令令则有则有二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1 1、振幅、振幅 A ：简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。初始条件初始条件频率频率 ：单位时间内物体完成的完全振动的次数。单位时间内物体完成的完全振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。角频率角频率 ：单位
4、时间内物体所做完全振动次数的单位时间内物体所做完全振动次数的2倍倍。周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关本身的物理性质有关对弹簧振子对弹簧振子固有固有角频率角频率、固有、固有周期周期、固有、固有频率频率单摆单摆注意注意位相位相，决定谐振动物体的运动状态，决定谐振动物体的运动状态 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相初始条件初始条件位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称同相称同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称
5、反相称反相 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 同相同相反相反相对给定振动系统，对给定振动系统，周期周期由系统本身性质决定，由系统本身性质决定，振幅和初相振幅和初相由初始条件决定由初始条件决定.三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量旋转矢量表示法表示法 0t = 0 x t+ 0t = toX平衡位置平衡位置用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同相同相反相反相两矢量方向相同两矢量方向相同两矢量方向相反两矢量方向相反图图图图图图取取谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之
6、间的位相关系图图图图图图由图可见：由图可见： t+ xo 旋转矢量法表示旋转矢量法表示位移、速度、加速度之间的位相关系位移、速度、加速度之间的位相关系例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l =9.8cm t=0时时 x0= - 9.8cm, v0=0 (1) 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；取开始振动时为计时零点，写出振动方程； (2) 若取若取x0=0，v00为计时零点为计时零点, 写出振动方程写出振动方程, 并计算并计算振动频率振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位
7、移 x, 则则 f=mg-k( l +x)= -kx作作简谐振动简谐振动设振动方程为：设振动方程为：由初始条件：由初始条件：t=0时时 x0= - 9.8cm, v0=0 得得由由x0=Acos 0= - 0.098 0 cos 0 0v0= - A sin 0 , sin 0 0为计时零点为计时零点, 写出振动方写出振动方程程, 并计算振动频率。并计算振动频率。不不相相干干x0=Acos 0=0 cos 0=0 0= /2 ,3 /2 例例 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度速度与时间的关系与时间的关系曲线曲线如图如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。解：解：方法方法1设振动方
8、程为设振动方程为故振动方程为故振动方程为方法方法2： 用旋转矢量法求解。用旋转矢量法求解。v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知t =1s时时以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量 = 系统的系统的动能动能Ek + 系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量注意：其频率是运动方程的注意：其频率是运动方程的2倍。倍。动动能
9、能势势能能情况同动能。情况同动能。机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：，求：（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）（2）（3）（4）时，时，由由一、同方向、同频率谐振动的一、同方向、同频率谐振动的合成合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动,
10、,其频率仍为其频率仍为 。质点同时参与同方向同频率的谐振动质点同时参与同方向同频率的谐振动 : :合振动合振动 : :4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成通过和差化积，化简，可得通过和差化积，化简，可得X合合振动的角频率：振动的角频率：合振动的振幅：合振动的振幅：用用旋转矢量旋转矢量法法也也可得到相同结果可得到相同结果0讨论：讨论：振动减弱振动减弱X振动加强振动加强X合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动合振动合振动利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：式中式中随随t 缓缓变变随随t 快快变变合振动可看作合振动可看
11、作振幅缓变振幅缓变的的简谐简谐振动振动当当 2 1 时时, ,一个高频振动受到一个低频振动的调制一个高频振动受到一个低频振动的调制或或 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .如：两个如：两个频率相近频率相近的音叉同时振动时，可听到时的音叉同时振动时，可听到时强时弱的强时弱的“嗡、嗡嗡、嗡.。 -“拍现象拍现象”拍产生的拍产生的条件条件：频率较大而频率之频率较大而频率之差差很很小小拍：拍： 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数xt tx2t tx1t t又振幅只能取正又振幅只能取正 拍拍=| 2- 1|
