6.2.26.2.2导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值第六章第六章2021内容索引0102课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件.(数学抽象)2.会求函数的极值.(数学运算)3.会求函数在闭区间上的最值.(数学运算)4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.(逻辑推理)课前篇课前篇 自主预习自主预习【情境导入】“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉的用语.尼古拉认为一个事物,如果没有比它更大的事物存在,就叫做最大或极大,极大与极小是对立一致的.那么数学中“极大值”与“极小值”又是如何界定的呢?【知识梳理】一、函数的导数与极值1.极值点与极值只与附近值比较一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.不是点的坐标极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.2.极值点的求法一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f(x0)=0.名师点析求函数y=f(x)极值的步骤第1步,求导数f(x).第2步,求方程f(x)=0的所有实数根.第3步,观察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧,f(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.微思考1(1)函数是否一定存在极值?若存在,是否唯一?(2)极大值是否一定比极小值大?(3)函数的极值点是否可以出现在区间的端点?提示(1)在一个给定的区间上,函数可能存在若干个极值,也可能不存在极值;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.(2)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.(3)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义.微思考2(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗?(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗?提示(1)不一定,例如对于函数f(x)=x3,虽有f(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的极值点,要使导数为0的点成为极值点,还必须满足其他条件.(2)不一定,例如函数f(x)=|x-1|,它在x=1处取得极小值,但它在x=1处不可导,就更谈不上导数等于0了.但对可导函数来说,极值点处的导数值一定等于0.二、函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.名师点析求函数y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f(x)=0的点.第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.微思考函数的极值与最值有什么联系与区别?提示(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性.(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值最多只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值.(3)极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得.有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不是在端点处取到,则一定是某个极值.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一利用利用导数求函数的极数求函数的极值例1求下列函数的极值:(1)f(x)=1+3x-x3;(3)f(x)=x2e-x.思路分析按照求极值的方法,首先从方程f(x)=0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值.解(1)函数定义域为R,且f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)-13所以f(x)在x=-1处取极小值-1,在x=1处取极大值3.(3)函数f(x)的定义域为R,f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=x(2-x)e-x,令f(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:从表中可以看出,当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)-0+0-f(x)04e-2反思感悟求函数极值的解题策略求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行,其重点是列表判断导数为零的点的左右两侧的导数值是不是异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.另外,在求函数的极值前,首先要研究函数的定义域.变式训练1已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(xR),当aR且a时,求函数的极值.解f(x)=x2+(a+2)x-2a2+4aex.令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.x(-,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在(-,-2a),(a-2,+)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.若aa-2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:f(x)在(-,a-2),(-2a,+)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.x(-,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值探究二探究二利用利用导数求函数的最数求函数的最值例2求下列函数的最值:(1)f(x)=x3-2x2+1,x-1,2;思路分析按照求函数最值的步骤求解.从上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.(3)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1,令f(x)=0,得x2=1-lnx,显然x=1是方程的解.令g(x)=x2+lnx-1,x(0,+),则g(x)=2x+0,函数g(x)在(0,+)上单调递增,x=1是方程f(x)=0的唯一解.当0 x0,当x1时,f(x)0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,2)f(x)+0-f(x)极大值所以当x=0时,f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,所以-16a+3=-29,即a=2.当af(-1),所以当x=2时,f(x)取得最大值,所以-16a-29=3,即a=-2.综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.x(-1,0)0(0,2)f(x)-0+f(x)极小值反思感悟根据函数极值与最值求参数值(或范围)的解题策略(1)已知函数的极值或最值求参数值时,主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值,列出方程(组),利用待定系数法求解;同时应注意,导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.(2)对于可导函数f(x),若它有极值点x0,则必有f(x0)=0,因此函数f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程f(x)=0有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解.(3)有些含参数的问题,需要对参数进行分类讨论求解.解f(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+)内有两个极值点,所以f(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.探究四探究四极极值问题的的综合合应用用例4已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.思路分析求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.解令f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.当x0;当-1x1时,f(x)1时,f(x)0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图像与x轴有三个交点,如图.解得-2a2,故实数a的取值范围是(-2,2).要点笔记极值综合问题的求解策略利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并在此基础上画出函数的大致图像,从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数.延伸探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解?解由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.延伸探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a0,即a2.故a的取值范围为(-,-2)(2,+). 素养形成素养形成不等式恒成立问题不等式恒成立问题典例已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR).(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x-2,6时,f(x)2|c|恒成立,求c的取值范围.解(1)f(x)=3x2-2ax+b(a,b,cR).因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(a,b,cR),则f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)极大值c+5极小值c-27而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,所以x-2,6时,f(x)的最大值为c+54.要使f(x)2|c|恒成立,只要c+542|c|成立即可.当c0时,c+5454;当c0时,c+54-2c,所以c-18.所以c的取值范围为(-,-18)(54,+).方法点睛不等式恒成立时,求参数的取值范围问题的常用方法:先分离参数,再转化为求函数的最值问题.在求函数最值时,可以借助导数求解. 当堂当堂检测答案A2.(2021甘肃兰州一中高二月考)函数y=(x+1)ex+1在区间-3,4上的最大值为()A.2e-2B.5e5C.4e5D.-e-1答案B解析由y=f(x)=(x+1)ex+1,得y=ex+1+(x+1)ex+1=(x+2)ex+1,当-3x-2时,y0;当-2x0,所以函数y=(x+1)ex+1在(-3,-2)上单调递减,在(-2,4)上单调递增,因为f(-3)=-2e-20,f(x)单调递增;x(2e,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.f(x)的极大值为f(2e)=2ln2e-2=2ln2.4.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9,则a+2b=.答案-24解析f(x)=3ax2+6x-6a,因为f(x)在x=2处取得极值9,所以a+2b=-2-22=-24.5.设函数f(x)=ex+x2-ax,若x=0是f(x)的极值点,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为.答案e+1解析由已知,得f(x)=ex。