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1、高三数学第 1 页（共 6 页） 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （一） 数学（参考答案）2022.03 一、选择题：一、选择题： 1C2B3D4B5A6D7C8D 二、二、选择选择题：题： 9BCD 10AD 11BC 12AB 三、填空题填空题： 132 141(02 ， 1532 16 2 2 ，52 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 解：10 25sinsinsin93BCA，由正弦定理sinsinsinABCaac， 可得553
2、bca以下如所示以下如所示 因为10coscos9BC，由余弦定理得22222210229acbabcacab， 所以22222220()()9b acbc abcabc， 所以22220()(2)9bc abcbcabc，其中2222cosabcbcA ， 所以10()(1cos )9bcAa 4 分 若 A 为锐角，则281cos1 sin193AA，则5bc 由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc ， 所以6bc ，又5bc，解得23bc ，或32bc ， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 8 分 高三数学第 2 页（共 6 页） 若 A
3、 为钝角，则281cos1 sin193AA ，则532bca，舍去 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 因为5bc，由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc 3 分 若 A 为锐角，则281cos1 sin193AA，则8113bc ， 所以6bc ，又5bc，解得23bc ，或32bc ， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 7 分 若 A 为钝角，则281cos1 sin193AA ，则8113bc ， 所以12bc ，又5bc，无解，舍去 9 分 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 18（12 分） 解：（1）甲同学在每个项目中
4、获得“优”、“良”、“中”互为互斥事件， 则11623pp，解得1p 所以甲同学通过每个项目选拔的概率都为12623p 2 分 设甲同学能进入到数学建模社团为事件 A， 因为甲同学通过每个项目选拔的概率都为23，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立，所以 222833327p A 答：甲同学能进入到数学建模社团的概率为827 5 分 （2）X 的可能取值为 0，1，2，3 6 分 103P X ；2121339P X ； 2214233327P X ；2228333327P X 高三数学第 3 页（共 6 页） 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 13 29 427 82
5、7 10 分 所以 X 的数学期望 E(X)124838012339272727 12 分 19.（12 分） 解：（1）1111(1)1nnaan nnn 1 分 所以211121aa，321132aa，1111nnaann，其中2n 相加得1111naan，又因为11a ，所以1nan（2n） 4 分 当1n 时，11a 也符合上式，所以数列 na的通项公式1nan 5 分 （2）由（1）得221nan 6 分 令421nnbn， 当1n 时，112143abS， 当2n时，222144(1)111212(1)14nnnnnannnbbn， 所以121ab，1222bba ，12nnnba
6、b 10 分 所以31212222121()nnnnnSbaaabbabbb 所以421nnSn 12 分 20（12 分） 解：（1）当12t 时，11112C EBDtBCC B ，即点 D，E 分别为 BC，11BC的中点， 在直三棱柱111ABCABC中，11AABB，11AABB，平面11BBCC为平行四边形， 连接 DE，则1DEBB，1DEBB，所以1DEAA，1DEAA， 所以四边形1DEAA是平行四边形，所以1ADAE 3 分 高三数学第 4 页（共 6 页） 又因为AD 平面1AEB，1AE 平面1AEB， 所以AD平面1AEB 5 分 （2）方法一：方法一：在平面 ABC
7、 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结1C H，则 1C HC为二面角1CADC的平面角，即13C HC， 在直角三角形1C HC中，13CC ，所以3CH 在直角三角形CHA中，3CH ，3AC ， 所以32sin32CHCAHAC，又因为CAH为锐角， 所以6cos3CAH且04CAH， 所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 CDA中，62 3sinsin()46CDHCAH，63 2sinCHCDCDH，所以3 2(63 2)223 2BDtBC 12 分 方法二：方法二：1AA 平面ABC，又90BAC，以1AB AC AA ， ，为正交基底建立如图所示的空间直角坐
8、标系Axyz，则点(0 0 0)A ， ，(30 0)B ， ，(0 3 0)D ， ，1(0 33)C， ， 从而1(0 33)AC ， ，(3 3 0)BC ，(30)BDtBCtt ， 所以(3330)ADtt ， ， 设平面1AC D的一个法向量为1()nx y z ， 由11100nnACAD ， 有030( 1 )333t xtyyz ， 取1(1 1)nt tt ，又平面 ADC 的一个法向量为2(0 0 1)n ， 因为二面角1CADC的大小为3，所以12121cos32nnn n 9 分 即2112342ttt，得2420tt， 又因为01t ，所以22t 12 分 HDCA
9、B高三数学第 5 页（共 6 页） 21（12 分） 解：（1）因为椭圆 C 的离心率为22，且其右焦点 F 到右准线的距离为3， 所以22ca，且23acc，解得6a ，3c 2 分 所以2223bac，所以椭圆C的标准方程为22163xy 4 分 （2）设直线 MN 的方程为yxm，点11()M xy ，22()N xy ，00()A xy ， 直线 MN 的方程与椭圆方程联立得22163xyyxm ， 则2234260 xmxm，所以1221222432631612(26)0 xxmmx xmm ， 由102010200yyyyxxxx，得120012002()()2()0 x xmxy
10、xxx my 所以200002642()()2()033mmxymx my，整理得， 00002(2)2403yx mx y，所以000020240yxx y ， 10 分 因为点 A 在第一象限，所以0021xy ， 所以点 A 的坐标为(2 1)A ， 12 分 高三数学第 6 页（共 6 页） 22（12 分） 解：（1）当ea 时，2( )eln(e)f xxxx， 则2e2(12e)e(21)(e)( )12(e)=xxxxfxxxxx ，（0 x ） 令( )0fx，得ex ；令( )0fx，得ex ； 所以，函数( )g x的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e) 3 分
11、（2）22(ln2e)( )ln2(e)axaxafxaxxx， 令2( )2(ln2e)0t xxaxa，因为2(ln2e)80aa， 所以方程22(ln2e)0 xaxa，有两个不相等的实根12x x ，（12xx）， 又因为1202ax x ，所以120 xx，令02xx，列表如下 x 0(0)x ， 0 x 0()x ， ( )fx 0 ( )f x 减 极小值 增 所以( )f x存在极值点0 x 7 分 因为2002(ln2e)0 xaxa，所以200022elnxxaxa， 记0( )lnu ttxt ，0( )1xu tt ， 当00tx 时，( )0u t，( )u t单调递减；当0tx时，( )0u t，( )u t单调递增 所以当0tx时，0( )lnu ttxt 的最小值为0000()lnu xxxx 所以200000022elnlnxxaxaxxx， 即200002(2e 1)ln0 xxxx， 10 分 因为00 x ，所以002ln(2e1)0 xx， 因为( )2ln(2e1)v ttt在(0) ，上单调递增，且0()(e)0v xv， 所以0ex ，则0 x的最小值是 e 12 分
