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1、高三数学第 1 页(共 6 页) 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 (一) 数学(参考答案)2022.03 一、选择题:一、选择题: 1C2B3D4B5A6D7C8D 二、二、选择选择题:题: 9BCD 10AD 11BC 12AB 三、填空题填空题: 132 141(02 , 1532 16 2 2 ,52 三、三、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(10 分) 解:10 25sinsinsin93BCA,由正弦定理sinsinsinABCaac, 可得553
2、bca以下如所示以下如所示 因为10coscos9BC,由余弦定理得22222210229acbabcacab, 所以22222220()()9b acbc abcabc, 所以22220()(2)9bc abcbcabc,其中2222cosabcbcA , 所以10()(1cos )9bcAa 4 分 若 A 为锐角,则281cos1 sin193AA,则5bc 由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc , 所以6bc ,又5bc,解得23bc ,或32bc , 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 8 分 高三数学第 2 页(共 6 页) 若 A
3、 为钝角,则281cos1 sin193AA ,则532bca,舍去 综上可得,ABC的面积为2 2 10 分 因为5bc,由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc 3 分 若 A 为锐角,则281cos1 sin193AA,则8113bc , 所以6bc ,又5bc,解得23bc ,或32bc , 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 7 分 若 A 为钝角,则281cos1 sin193AA ,则8113bc , 所以12bc ,又5bc,无解,舍去 9 分 综上可得,ABC的面积为2 2 10 分 18(12 分) 解:(1)甲同学在每个项目中
4、获得“优”、“良”、“中”互为互斥事件, 则11623pp,解得1p 所以甲同学通过每个项目选拔的概率都为12623p 2 分 设甲同学能进入到数学建模社团为事件 A, 因为甲同学通过每个项目选拔的概率都为23,且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立,所以 222833327p A 答:甲同学能进入到数学建模社团的概率为827 5 分 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3 6 分 103P X ;2121339P X ; 2214233327P X ;2228333327P X 高三数学第 3 页(共 6 页) 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 13 29 427 82
5、7 10 分 所以 X 的数学期望 E(X)124838012339272727 12 分 19.(12 分) 解:(1)1111(1)1nnaan nnn 1 分 所以211121aa,321132aa,1111nnaann,其中2n 相加得1111naan,又因为11a ,所以1nan(2n) 4 分 当1n 时,11a 也符合上式,所以数列 na的通项公式1nan 5 分 (2)由(1)得221nan 6 分 令421nnbn, 当1n 时,112143abS, 当2n时,222144(1)111212(1)14nnnnnannnbbn, 所以121ab,1222bba ,12nnnba
6、b 10 分 所以31212222121()nnnnnSbaaabbabbb 所以421nnSn 12 分 20(12 分) 解:(1)当12t 时,11112C EBDtBCC B ,即点 D,E 分别为 BC,11BC的中点, 在直三棱柱111ABCABC中,11AABB,11AABB,平面11BBCC为平行四边形, 连接 DE,则1DEBB,1DEBB,所以1DEAA,1DEAA, 所以四边形1DEAA是平行四边形,所以1ADAE 3 分 高三数学第 4 页(共 6 页) 又因为AD 平面1AEB,1AE 平面1AEB, 所以AD平面1AEB 5 分 (2)方法一:方法一:在平面 ABC
7、 内,过点 C 作 AD 的垂线,垂足为 H,连结1C H,则 1C HC为二面角1CADC的平面角,即13C HC, 在直角三角形1C HC中,13CC ,所以3CH 在直角三角形CHA中,3CH ,3AC , 所以32sin32CHCAHAC,又因为CAH为锐角, 所以6cos3CAH且04CAH, 所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 CDA中,62 3sinsin()46CDHCAH,63 2sinCHCDCDH,所以3 2(63 2)223 2BDtBC 12 分 方法二:方法二:1AA 平面ABC,又90BAC,以1AB AC AA , ,为正交基底建立如图所示的空间直角坐
8、标系Axyz,则点(0 0 0)A , ,(30 0)B , ,(0 3 0)D , ,1(0 33)C, , 从而1(0 33)AC , ,(3 3 0)BC ,(30)BDtBCtt , 所以(3330)ADtt , , 设平面1AC D的一个法向量为1()nx y z , 由11100nnACAD , 有030( 1 )333t xtyyz , 取1(1 1)nt tt ,又平面 ADC 的一个法向量为2(0 0 1)n , 因为二面角1CADC的大小为3,所以12121cos32nnn n 9 分 即2112342ttt,得2420tt, 又因为01t ,所以22t 12 分 HDCA
9、B高三数学第 5 页(共 6 页) 21(12 分) 解:(1)因为椭圆 C 的离心率为22,且其右焦点 F 到右准线的距离为3, 所以22ca,且23acc,解得6a ,3c 2 分 所以2223bac,所以椭圆C的标准方程为22163xy 4 分 (2)设直线 MN 的方程为yxm,点11()M xy ,22()N xy ,00()A xy , 直线 MN 的方程与椭圆方程联立得22163xyyxm , 则2234260 xmxm,所以1221222432631612(26)0 xxmmx xmm , 由102010200yyyyxxxx,得120012002()()2()0 x xmxy
10、xxx my 所以200002642()()2()033mmxymx my,整理得, 00002(2)2403yx mx y,所以000020240yxx y , 10 分 因为点 A 在第一象限,所以0021xy , 所以点 A 的坐标为(2 1)A , 12 分 高三数学第 6 页(共 6 页) 22(12 分) 解:(1)当ea 时,2( )eln(e)f xxxx, 则2e2(12e)e(21)(e)( )12(e)=xxxxfxxxxx ,(0 x ) 令( )0fx,得ex ;令( )0fx,得ex ; 所以,函数( )g x的单调增区间为(e,),单调减区间为(0,e) 3 分
11、(2)22(ln2e)( )ln2(e)axaxafxaxxx, 令2( )2(ln2e)0t xxaxa,因为2(ln2e)80aa, 所以方程22(ln2e)0 xaxa,有两个不相等的实根12x x ,(12xx), 又因为1202ax x ,所以120 xx,令02xx,列表如下 x 0(0)x , 0 x 0()x , ( )fx 0 ( )f x 减 极小值 增 所以( )f x存在极值点0 x 7 分 因为2002(ln2e)0 xaxa,所以200022elnxxaxa, 记0( )lnu ttxt ,0( )1xu tt , 当00tx 时,( )0u t,( )u t单调递减;当0tx时,( )0u t,( )u t单调递增 所以当0tx时,0( )lnu ttxt 的最小值为0000()lnu xxxx 所以200000022elnlnxxaxaxxx, 即200002(2e 1)ln0 xxxx, 10 分 因为00 x ,所以002ln(2e1)0 xx, 因为( )2ln(2e1)v ttt在(0) ,上单调递增,且0()(e)0v xv, 所以0ex ,则0 x的最小值是 e 12 分