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1、竞赛讲座一元一次方程 早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性 一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论 解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，继续求解时，
2、一般要对字母系数a、b进行讨论： 1当时，方程有惟一解；2当时，方程无解； 3当时，方程有无数个解例题 【例1】 (1)已知关于I的方程和有相同的解，那么这个解是 (北京市“迎春杯”竞赛题)（2）如果，那么n (江苏省竞赛题)思路点拨 (1)设法建立关于a 等式，再解关于a的方程求出a的值；(2)恰当地解关于n的一元一次方程注： 对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础，后者是机智只有真正掌握一般步骤，才能“热能生巧” 方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用： (1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题；(2)代解：将方程的解代入原方程
3、进行解题当地解关于n的一元一次方程 【例2】 当b=1时，关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a等于( ) A2 B一2 C D不存在 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 将b=1代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建立a的等式 【例3】 是否存在整数k，使关于k的方程(k一5)x+6=15x；在整数范围内有解?并求出各个解 思路点拨 把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k 【例4】 解下列关于x的方程 (1)4x+b=ax-8； (a4) (2)mx-1nx； (3) 思路点拨 首先将方程化为ax=b的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取
4、值的情况进行讨论 【例5】已知都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p十101q+4的值 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用代解法可得到的关系式，进而综合运用整数相关知识分析 注：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本
5、性质化成整数；(4)逼用整体思想，即把含有求知数的代数式看作一个整体进行变形学力训练1已知x=一1是关于x的方程7x3一3x2+kx+5=0的解，则k3+2k2-11k-85= (“信利杯”竞赛题)2方程的解为 ；解方程，得x= 3已知关于x的方程2a(x一1)(5一a)x+3b有无数多个解，那么a (“希望杯”邀请赛试题)4和方程x一33x+4不同解的方程是( )A7945911 BC(a2+1)(x一3)(3x+4)(a2+1)D(7x一4)(x1)(5x一11)(x一1)5已知a是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1(2)方程axa的解是x1(3)方程ax=1的解是x(
6、4)方程的解是x1 结论正确的个数是( ) A0 B1 C 2 D3 (江苏省竞赛题)6方程的解是（ ）A B C D7已知关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解，则ab=( ) A正数 B非正数 C负数 D非负数 8解关于x的方程：（1）ax-1=bx(2)4x+b=ax-8(3)k(kx-1)=3(kx-1)9A为何值时，方程有无数个解？无解？10已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解为 11已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = 12已知，那么代数式的值为 13若(3a+2b)x2+ax+
7、b=0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则x = 14有4个关于x方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0 (4)其中同解的两个方程是（ ）A（1）与（2） B（1）与（3） C（1）与（4） D（2）与（4）15方程的解是（ ） A1995 B（1996 C1997 D 199816已知，且，那么的值为（ ）A B4 C D417若k为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k 值有A4个 B8个 C12个 D16个 (“希望杯”邀请赛试题)18若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本，每人9本，则最后一人只得6本，问
8、小朋友共几个?有多少本书?19下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x的值(上海市竞赛题)5ABCDEFXGHE1020如果a、b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的值 (山东省竞赛题)21将连续的自然数11001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：(1)1988；(2)1991；(3)2000；(4)2080这是否可能?若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数(河北省竞赛题) 22(第12届“希望杯”竞赛试题)若k为整数，则使得方程(k1999)x=20012000x的解也是整数的k值为( D ) A4个 B8个 C 12个 D16个参考答案
