§6抛物面例 ： yoz 面上抛物线y22 pzp0 绕 z 轴旋转， 所得旋转面为x 2y 22 pz ，2x0即x 2y22z p22p此曲面称为 旋转抛物面 ，将该曲面推广便有：一椭圆抛物面 ：1 、定义 ：在直角系下，由方程x2y 22z（ a,b>0 ）（ 1）所表示的图形称为椭a2b2圆抛物面 ；而（ 1）称为椭圆抛物面的标准方程注：在直角系下，由方程x 2z2y 2z22x 所表示的图形也是椭圆抛物面a 2c 22 y 或2c2b2 、性质和形状：（ i ）对称性：椭圆抛物面（ 1）关于 z 轴， y z 面， x z 面对称，在 ch6 中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心 ii ）有界性：由（1）知 z= 1x2y 2≧0，∴椭圆抛物面（1）位于 xy 面的上方，且2a2b2为无界的 iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线（ 1）与三坐标轴均交于原点——顶点；（ 1）与三坐标面交于(1) (1) (1)， ， ，亦即x0y 0z022z （ 2），22x 2y 20 （4）y2bx2az （ 3）， a 2b2x0y0z0（2），（ 3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z 轴正向。
对称轴均为 z轴；而（ 4）为原点 iv ）与平行于坐标面平面的交线：首先，（ 1）与平行于 x(1)，即y 面的平面交于kzx 2y 22k（ k0 ）a 2b 2（ 5）z k当 k 0 时，（5）为原点；当 k 0 时，（ 5）为椭圆，其顶点为（ 0，± b 2k ，k）∈（ 2）, （± a 2k ， 0，k）∈（ 3）.可见，椭圆抛物面（ 1）是由 x y 面上方的一系列“平行”椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线（ 2）和（ 3）上变化zox(图 4.6)另外，椭圆抛物面（ 1）与平行于 y(1)，即z 面的平面交于x ky 22b2 (zh 2 )（6）2a2xk对 k ，（ 6）均为全等的抛物线，其顶点（k ，0， k 2）∈（ 3）对称轴∥ z 轴，开2a 2口方向朝 z 轴正向（与（ 3）的开口方向一致）最后，若用平行于 xz 面的平面去截（1），其截线情况于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹， 在移动过程中， 动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向一致，且它们所在平面始终保持垂直 (如图 4.6)。
二 双曲抛物面 ：1、定义 ：在直角系下，由方程x 2y 22z（ a,b>0 ）（1）所表示的图形称为 双曲a2b2抛物面 ；而（ 1）称为双曲抛物面的标准方程注：在直角系下，由方程x 2z22 y 或y 2z22x 所表示的图形也是双曲抛物面a 2c 2b 2c22 、性质和形状 ：1）关于 z 轴， yz 面， xz 面对称，在 ch6 中，我们将会知（ i ）对称性：双曲抛物面（道双曲抛物面无对称中心 ii ）有界性：由（ 1）知双曲抛物面（ 1）为无界的 iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线（ 1）与三坐标轴均交于原点——顶点；（ 1）与三坐标面交于(1) (1) (1)， ， ，亦即x 0 y 0 z 02222x 2y 2y2bz （ 2），x2az （ 3）， a 2b20 （4）x0y0z0（2），（ 3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向一指z 轴正向，一朝z 轴负向对称轴均为 z 轴；而（ 4）为二相交直线 iv ）与平行于坐标面平面的交线：首先，（ 1）与平行于 x(1)，即y 面的平面交于kzx 2y 22ka 2b2（5）z k当 k 0 时，（5）为（ 4）；当 k 0 时，（5）为双曲线，其顶点为（± a 2k ，0， k）∈（ 3） .当 k 0 时，（ 5）仍为双曲线，其顶点为（ 0，± b 2k ， k ）∈（ 2）可见，双曲抛物面（ 1）是平行于 x y 面的一系列“平行”双曲线构成，这些双曲线的顶点在抛物线（ 2）和（ 3）上变化。
1)另外，双曲抛物面（ 1）与平行于 y z 面的平面交于，即xky 22b2 (zh2)（6）2a 2xk对 k ，（ 6）均为全等的抛物线，其顶点（k，0， k 2）∈（ 3）对称轴∥ z 轴，开口方向朝 z 轴负向（与（3）的开口方向相反）2a 2最后，若用平行于 x z 面的平面去截（1），其截线情况于上类似，由此可得双曲抛物面的几何特征如下：双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中， 动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向相反，且它们所在平面始终保持垂直 ( 如图 4.7) ZZXoYyx(图 4.7)。