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1、 第九章 排列、组合、二项式定理一一 排列与组合排列与组合.第一课 基本原理.例例1 从甲地到乙地从甲地到乙地,可以乘火车可以乘火车,也可以乘汽车也可以乘汽车,还可以乘还可以乘轮船。一天中，火车有轮船。一天中，火车有4班，汽车有班，汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。班。那麽，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少那麽，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？种不同的走法？解：因为一天中乘火车有解：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，乘种走法，乘轮船有轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，一天
2、中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种种不同的走法。不同的走法。.加法原理：加法原理： 做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。 . 例例2 由由 A 村去村去 B 村的道路有村的道路有3条，由条，由 B 村去村去 C 村的道路村的道路 有有2条。从条。从 A 村经村经 B 村去村去 C 村，共有多少种不同的走法？村，共有多少种不同的走法？解：从A 村去 B 村有3种不同的走
3、法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从 B村到达C 村又有2种不同的走法。因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 3 2 = 6 种不同的走法。A村村B村村C村村北北中南南.乘法原理：乘法原理： 做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步个步骤，做第一步有有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法， ，做第，做第n步有步有mn种不同的方法。那么完成这件种不同的方法。那么完成这件事共有事共有 N= m1 m2 mn 种不同的方法。种不同的方法。 .加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的
4、方法，在第一类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1 m2 mn 种不同的方法。两个原理的共同点：不同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；前者分类，后者分步；如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理；如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理。.例例1 书架上层放有书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有 5
5、 本不同的语文书。本不同的语文书。 从中任取一本，共有多少种不同的取法？从中任取一本，共有多少种不同的取法？ 从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？解：从书架上任取一本书，有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取一本，有 6 种取法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5 种取法。 根据加法原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 = 6+5=11 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法。.解: 从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成： 第一步取一本数学
6、书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法。根据乘法原理，得到不同的取法的种数是： N= m1 m2 = 65 = 30 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有30 种不同的取法。例例1 书架上层放有书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。本不同的语文书。 从中任取一本，共有多少种不同的取法？从中任取一本，共有多少种不同的取法？ 从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？.例例2 有数字有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位可以组成多少个三位数（各位上的数字许重
7、复）？上的数字许重复）？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有个数字中任选一个数字，共有5种选法；种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选种选法；法； 第二步确定十位上的数字，同理，它也有第二步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。种选法。 根据乘法原理，得到组成的三位数的个数是：根据乘法原理，得到组成的三位数的个数是： N = 5 5 5 = 53 = 125 答：可以组成答：可以组成125个
8、三位数。个三位数。.例例3 有不同的语文书有不同的语文书9本，不同的数学书本，不同的数学书7本，不同的物理本，不同的物理书书5本，从中任取两种不同类的书，共有多少种不同的取本，从中任取两种不同类的书，共有多少种不同的取法？法？解解：每次取出的两本书中： 含 1 本语文书和 1 本数学书的共有 9 7 = 63 种取法； 含 1 本数学书和 1 本物理书的共有 7 5 = 35 种取法； 含 1 本语文书和 1 本物理书的共有 9 5 = 45 种取法。由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143答：共有 143 种取法。.一类易混问题一类易混问题.映射问题映射问题.染色问题染色问题n用用
9、5种不同的颜色给图中种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，求有多少种不同涂色方法？求有多少种不同涂色方法？.例例1n4名同学去争夺三项冠名同学去争夺三项冠军，不允许并列，则有军，不允许并列，则有多少种情况？多少种情况？.例例2n在所有的两位数中，个位数在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有字比十位数字大的两位数有多少？多少？.例例3.例例4n甲、乙两个自然数的最大公甲、乙两个自然数的最大公约数为约数为60，则甲、乙两数的，则甲、乙两数的公约数共有多少个？公约数共有多少个？
10、.练习1： 1 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2 在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书，3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？ 3乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？ 4 + 5 = 92 + 2 + 3 = 7.练习题2：1书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1 本书的不同取法的种数是 （ ）2 A. 5 + 64
11、= 15 B. 1 C. 654 = 120 D. 3A2在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是 ( )3 A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 C. 564 = 120 D. 1C3把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 ( )4 A. 12 B.64 C.81 D.7C4 火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 （ ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对A.总结：加法原理：加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，
12、 ，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。乘法原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1 m2 mn 种不同的方法。 加法原理和乘法原理的加法原理和乘法原理的共同点：共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；不同点：不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完备，就用加法原理；如果分事件相互关联，缺一不可，就用乘法原理。.作业：第266页 6题 7题 补充题: 从2,3,5,7四个数字中任取两个用来做分子,分母。 能得到几个不同的分数？其中有几个是真分数？几个假分数？课下练习题: 第266页 3题 5题.
