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1、第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 1.频率分布直方图月均用水量/t频率组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5小长方形的面积=纵坐标为:每组所对应的频率复习回顾频率分布直方图如下：月均用水量/t频率组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图复习回顾总体密度曲线频率组距月均用水量/tab（图中蓝色阴影部分的面积，表示某个区间 (a, b)的频率）。复习回顾连续型随机变量x的总体分布情况x概率密度曲线ab概率密度函数新课讲授xy0正态曲线一个随
2、机变量x，受到了众多互不相干的、不分主次的偶然因素的影响.则x服从或近似服从正态的分布则称X 的分布为正态分布. . 正态分布由参数m m、s s唯一确定, , m m、s s分别表示总体的平均数与标准差. .正态分布记作N N（ m m，s s2 2）. .其图象称为正态曲线正态曲线. .1.1.正态分布定义正态分布定义xy0 a b如果对于任何实数 ab,随机变量X满足:如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，则记作：服从正态分布，则记作：XN(m m,s s2)xy0正态曲线的性质正态曲线的性质(1)非负性：曲线 在轴的上方,与x轴不相交( (即x轴是曲线的渐近线).).(2)定值性:曲
3、线 与x轴围成的面积为1(3)对称性：正态曲线关于直线 x= =对称，曲线成“钟形”(4)(4)单调性：在直线 x= =的左边, 曲线是上升的; ;在直线 x= =的右边, 曲线是下降的. .2.2.正态曲线的性质正态曲线的性质(6)几何性:参数和的统计意义:E(x)=,曲线 的 位 置 由 决 定;D(x)=2,曲线的形状由决定. .(5)最值性:当 x= =时, 取得最大值越大， 就越小, ,于是曲线越“矮胖”, ,表示总体的分布越分散;反之越小, ,曲线越“瘦高”, ,表示总体的分布越集中 区间区间取值概率取值概率3. 33. 3个特殊结论个特殊结论若, ,则例1.若XN(5,1),求P
4、(6X0为参数,对任意的xR,f(x)0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(如图所示).知识点拨微练习下列函数是正态分布密度函数的是()答案:B 知识点拨二、正态分布若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X(,2).特别地,当=0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布.知识点拨微思考参数,在正态分布中的实际意义是什么?提示:参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.知识点拨三、
5、正态曲线的特点1.曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.曲线是单峰的,它关于直线x=对称.3.曲线在x=处达到峰值4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.5.曲线与x轴之间的面积为1.知识点拨6.当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移,如图.7.当一定时,曲线的形状由确定,当较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图.知识点拨微练习(多选)已知三个正态密度函数i(x)= (xR,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.1=2B.13C.1=2D.23知识点拨解析:根据正态曲线关
6、于直线x=对称,且越大,图象越靠右,可知12=3,故BC错误;因为越小,数据越集中,图象越瘦高,所以1=23,故AD正确.故选AD.答案:AD知识点拨微练习设XN(1,22),试求:(1)P(-1X3);(2)P(3X5);(3)P(X5).知识点拨解:XN(1,22),=1,=2.(1)P(-1X3)=P(1-2X1+2)0.682 7.(2)P(3X5)=P(-3X-1),探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态曲线的应用正态曲线的应用例1一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当
7、堂检测反思感悟利用正态曲线的特点求参数,(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此特点结合图象可求出.(2)正态曲线在x=处达到峰值 ,由此特点结合图象可求出.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为 ,则该正态分布密度函数的解析式为. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算例2设XN(5,1),求P(6X7).解:依题意,=5,=1,P(4X6)=P(5-1X5+1)0.682 7,P(3X7)=P(5-2X5+2)0.954 5,P(6X130) (1-0.682 7)=0.158 65.P(X
8、90)0.682 7+0.158 65=0.841 35.及格的人数为540.841 3545,130分以上的人数为540.158 659.探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态分布的应用正态分布的应用例3某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?解:由于圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25),则X在区间4-30.5,4+30.5,即2.5,5.5之外取值的概率约为0.002 7.而5.72.5,5.5,这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的事件,根据统计中假设检验的
9、基本思想,认为该厂生产的这批产品是不合格的.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟在解决与正态分布有关的实际问题时,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3之间的值.若服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,则说明出现了意外情况.探究一探究二探究三素养形成当堂检测数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用典例在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,2)(0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为.解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,如图,而区间(0,1)与(1,2)关于直线x=1对称,
10、由正态曲线性质得X在区间(0,1)和(1,2)内取值的概率相等.P(1X2)=P(0X1)=0.4.P(0X2)=P(0X1)+P(1X2)=0.023,则P(-22)=()A.0.477B.0.954C.0.628D.0.977解析:画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-22)=1-P(2)-P(0).若在(-,1)内取值的概率为0.1,则在(2,3)内取值的概率为.解析:根据正态曲线的对称性可知,在(2,3)内取值的概率P= (1-20.1)=0.4.答案:0.4 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.设XN(0,1).求:(1)P(-1X1);(2)P(0X2).解:XN(0,1),=0,=1.(1)P(-1X1)0.682 7.
