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1、对数函数及其性质1.对数函数：一般地，把函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+)2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解：（1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+）；(2)底数：对数函数的底数a0且a1；（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=logax（a0且a1）中，logax前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x，否则不是对数函数.例如y=loga（x-1），y=2logax
2、，y=logax+等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数.指数函数和对数函数对照表名称指数函数对数函数一般形式y=ax（a0且a1）y=logax（a0且a1）定义域R（0，）值域（0，）R函数值变化情况当时，当时，当时，当时，单调性当a1时，y=ax是增函数；当0a1时，y=ax是减函数当a1时，y=logax是增函数；当0a1时，y=logax是减函数图象y=ax（a0且a1）的图象与y=logax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称当a1时，当0a1时，补充性质当a1时，图象向上越靠近y轴，底数越大；0a1时，图象向上越靠近y轴，底数越小当a1时，图象向右越靠近x轴，底数越大；
3、当0a1时，图象向右越靠近x轴，底数越小 3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=(y) 就表示x是自变量y的函数。这样的函数x=(y) 叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y), 即x=(y)=f -1(y).在函数式x=f -1(y)中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此，我们常常对调x=f -1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f -1
4、(x). 函数y=f(x) 反函数的反函数正好是它的本身。 函数y=f(x)的定义域正好是它反函数y=f -1(x)的值域；反之，函数y=f(x)的值域也是它反函数y=f -1(x)的定义域。4.一个函数存在反函数的充要条件是：变量x、y之间具有一一对应关系可从以下两个角度研究：（1）方程解的个数上，由y=f（x）出发，所得的x仅有一个解；（2）图像交点个数上，与直线y=y0（y0A）有且只有一个交点.5.（1）函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）若函数y=f(x)的图像上有一点（a，b），则（b，a）必在其反函数的图像上，反之，若（b，a）必在反函
5、数的图像上，则（a，b）必在原函数图像上；（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性.6.函数y=x2的定义域是R，值域是0,+).由y=x2解出x=,对于y在0,+)上任一个值，通过式子x=，x在R上有两个值和它对应，故x不是y的函数。这表明函数y=x2没有反函数，所以并非所有的函数都有反函数！7.求反函数的步骤：（1）先求y=f（x）的值域；（2）由y=f(x)解出x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出定义域（即原函数的值域）.8.求下列函数的反函数(1)y=3x-1(xR) (2)y=+1(x0)（3）y=+1(x1)（4）y=x2+1(x0) 解: (1)由y=3x-1,解得x=，所以,函数y=3x-1(xR)的反函数是y=（xR）；（2）由y=+1,解得x=(y-1)2, 函数y=+1(x0)的反函数是y=(x-1)2(x1)；（3）y=+1(x1)解：=y-1，x=（y-1）2,所以y=（x-1）2（x2）；（4）y=x2+1，x=，所以反函数y=
