抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.二、特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k≠0)f（x±y）＝f（x）±f（y）幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) [或]指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y) [对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y) [三、常用变换技巧四、经典例题及易混易错题型 (一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解. 例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___.分析：因为相当于中的x，所以，解得或.例2. 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域.分析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足,从而函数f（x）的定义域是［1，4］例3.若函数的定义域为，求函数的定义域.解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.所以函数的定义域为例4.已知的定义域为，则的定义域是______.分析：因为及均相当于中的x，所以 (1)当时，则(2)当时，则的定义域为，意思是凡被f作用的对象都在中.评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______.分析：在条件中，令，得，又令，得，例2.设函数的定义域为，且对于任意正实数都有=恒成立。
若已知,试求：（1）的值;（2）的值，其中为正整数. 分析：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律.（1）令，则，∴.再令=2, =, 则, ∴（2）由于，依此类推就有 其中为正整数.例3.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值解：取，得因为，所以又取得抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决.2.利用周期函数求值例4. 已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值.分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以故是以8为周期的周期函数，从而例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.分析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,3.利用约分化简求值 .2000 .( ,原式=16)(三)值域问题例1. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 3.例2.若函数h(x),g(x)均为奇函数，f(x)＝ah(x)+bg(x)＋2在（0，＋∞）上有最大值5，求f(x)在（－∞，0）上的最小值解析：由于h(x),g(x)均为奇函数，故ah(x)+bg(x)也是奇函数，令F(x)=ah(x)+bg(x)，则f(x)=F(x)+2由f(x)在（0，＋∞）上有最大值5知，F(x)在（0，＋∞）上有最大值为3又因F(x)是奇函数，故F(x)在（－∞，0）上有最小值为－3．从而f(x)在（－∞，0）上有最小值为－1.(四)奇偶性问题根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系.f(x)是偶函数与f(x+a)是偶函数的区别：f(x+a)为偶函数 ，则f(x+a)=f(-x+a)；f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a).f(x)是奇函数与f(x+a)是奇函数的区别：f(x)是奇函数，则f(-x-a)=-f(x+a)；f(x+a)为奇函数，f(-x+a)=-f(x+a).如f(2x+1)是奇函数: f(-2x+1)=-f(2x+1). 原因如下：令g(x)=f(2x+1)，即g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即f(-2x+1)=-f(2x+1).例1.已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数例2.若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数证明：设图象上任意一点为P（）,与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，， 又，即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数例3.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：判断的奇偶性，并证明你的结论解析：令，则，得；令，则，得；令，得，得因此函数为奇函数总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段例4.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称已知y=f(x)是偶函数，则f(-2x-1) =f(2x+1).例5.已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数.证明：设t=x-y,则，所以f(x)为奇函数.（五）单调性问题抽象函数的单调性多用定义法解决例1.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解.例2.设函数的定义域为，且对任意实数m，n，总有，且当时，．（1）证明：，且当时，；（2）证明：在上单调递减．分析：解决抽象函数问题，可借助具体的“模型函数”帮助同学们思考．本题的“模型函数”为指数函数，同学们还没有学到它，不过没有关系，利用现有的知识同学们也同样能够解答．证明：（1）在，m，n∈中，令，，得，即，但0，故必有＝1．设，则，令，，代入条件式有，，由时，0＜＜1知＞0时，0＜＜1，∴＞1，即当时，＞1．（2）设任意∈且， 则，∴，又∵，故．∴，从而证得在R上单调递减．例3.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联例4. 已知函数的定义域为，且对，恒有，且，当时，．（1）求证：是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．分析：在学过的函数中一次函数满足上述条件，而一次函数具有单调性，从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明．在证明的过程中为了扣紧题设条件，要有一定的变形技巧．（1）证明：设任意，且，则，由题意，得， ∵，∴是单调递增函数．（2）解析：．验证过程同学们可以自己试做一下．例5.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x10,∴f(x2-x1)<0）所以f(x)是R上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.例6.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。
证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由，故f(x)>0，从而f(x2)>f(x1).即f(x)在R上是增函数注意与例3的解答相比较，体会解答的灵活性）例7.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.例8. 定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1。
1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)，故f(x1)