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1、中考总复习四：三角形详细内容请参看网校资源ID：#tbjx3#240254知识点一：三角形的概念及其性质（一）三角形的概念由不在同一 上的三条线段 所组成的图形叫做三角形.（二）三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：（三）三角形的内角和外角（1）三角形的内角和等于 .（2）三角形的任一个外角等于和它 的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它 的内角.（四）三角形三边之间的关系三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.（五）三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对 角，大角对 边；在同一三角形中，等边对 角，等角对 边.（六）三角形具有稳定性.知识点二：三角形的“四
2、心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是： 、 、 、中位线.（一）内心：三角形 的交点，是三角形 圆的圆心，它到各边的距离 .（二）外心：三角形 的交点，是三角形 圆的圆心，它到三个顶点的距离 .（三）重心：三角形 的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍.（四）垂心：三角形 的交点.（五）三角形的中位线：连结三角形两边 的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线 于第三边且等于第三边的 .要点诠释：（1）三角形的内心、重心都在三角形的内部.（2）钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.（3）直角三角形的垂心为 ，外心为直角三角形 .（4）锐角三角形的垂心、外心都在三角形的
3、内部.知识点三：全等三角形（一）定义：能完全 的两个三角形叫做全等三角形.（二）性质：（1）对应边 （2）对应角 （3）对应角的平分线、对应边的中线和高 （4）周长、面积 （三）判定：（1）边角边(SAS)（2）角边角(ASA)（3）角角边(AAS)（4）边边边(SSS)（5）斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四：等腰三角形（一）定义：有 的三角形叫做等腰三角形.（二）性质：（1）具有三角形的一切性质.（2）两底角 (等边对 )（3）顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相 (三线合一)（4）等边三角形的各角都 ，且都等于 .（三）判定
4、：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 (等角对 )；（2）三个角都 的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 的 三角形是等边三角形.要点诠释：（1）腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五：直角三角形（一）定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形.（二）性质：（1）直角三角形中两锐角 ；（2）直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的 .（3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 .（4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的 等于斜边的 .（5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b
5、，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.（6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ；（7）SRtABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.（三）判定：（1）两内角 的三角形是直角三角形；（2）一条边上的中线等于该边的 ，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.（3）如果三角形两边的 等于第三边的 ，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.知识点六：线段垂直平分线和角平分线（一）线段垂直平分线：经过线段的 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 .（2）与一条线段两个端点距离相等的
6、点，在这条线段的 上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点 的所有点的集合.（二）角平分线的性质：（1）角的平分线上的点到角的两边的距离 ；（2）到角的两边的距离相等的点在 上；（3）角的平分线可以看做是到角的两边 的所有点的集合.更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#240254考点一：三角形的概念及其性质例1.三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是（ ）A.-6a-3 B.-5a-2 C.2a5 D.a-5或a-2举一反三：【变式1】已知a，b，c为ABC的三条边，化简得 .【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，
7、组成一个三角形，问有几种可能（ ）A.1种B.2种C.3种D.4种【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是 .例2.如图在ABC中，ABC=90，A=50，BDAC，则CBD的度数是 .例3.已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A，则此三角形中（ ）A.一定有一个内角为45B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形举一反三：【变式1】下图能说明12的是（ ）【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【变式3】下列命题：（1）等边三角形也是等腰三角形；（2）三
8、角形的外角等于两个内角的和；（3）三角形中最大的内角不能小于60；（4）锐角三角形中，任意两内角之和必大于90，其中错误的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个考点二：三角形的“四心”和中位线例4.与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的（ ）A.二条中线的交点 B.二条高线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点例5.一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形举一反三：【变式1】如图，已知ABC中，A=58，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求BOC的度数.【变式2】如果
9、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是（ ）A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的（ ）A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线例6.已知ABC中，ABBCCA=324，AB=12厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DEF的周长是 .举一反三：【变式1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.【变式2】已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗?为什么？ABCDEFHG证明：考点三
10、：全等三角形例7.对于下列各组条件，不能判定的一组是（ ）A.A=A，B=B，AB=ABB.A=A，AB=AB，AC=ACC.A=A，AB=AB，BC=BCD.AB=AB，AC=AC，BC=BC举一反三：【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是（ ）A.一边和任意两个角B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边D.三角对应相等例8.已知：AC=DF，BC=EF，AD=BE，你能判定BCEF吗？说说你的理由.ADBEFC证明：举一反三：【变式1】如图，已知:AC =DB，要使，只需增加一个条件是 .【变式2】如图，已知，ABC中，C=90，AM平分CAB，CM=20cm
11、，那么M到AB的距离是 .考点四：等腰三角形与直角三角形例9.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半例10.ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论.ABCD答案：举一反三：【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50、80，则这个三角形是_三角形.【变式2】已知等腰ABC中，ABC=ACB=2A，且BDAC，垂足为D，求DBC的度数.解：【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是 .例11.如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）A
12、. 1：2：4B. 1：3：5C. 3：4：7D. 5：12：13例12.将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，则折痕的长为（ ）A. B.C.D. 举一反三：【变式1】下列条件能确定ABC是直角三角形的条件有（ ）（1）A+B=C；（2）A:B:C=1:2:3；（3）A=90-B；（4）A=B=C.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）A. B. C. D.5【变式3】已知：在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D.（1）若BAC=30，求证: AD=BD；
