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1、中考总复习四:三角形详细内容请参看网校资源ID:#tbjx3#240254知识点一:三角形的概念及其性质(一)三角形的概念由不在同一 上的三条线段 所组成的图形叫做三角形.(二)三角形的分类(1)按边分类:(2)按角分类:(三)三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于 .(2)三角形的任一个外角等于和它 的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个和它 的内角.(四)三角形三边之间的关系三角形任意两边之和 第三边,任意两边之差 第三边.(五)三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内,大边对 角,大角对 边;在同一三角形中,等边对 角,等角对 边.(六)三角形具有稳定性.知识点二:三角形的“四
2、心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是: 、 、 、中位线.(一)内心:三角形 的交点,是三角形 圆的圆心,它到各边的距离 .(二)外心:三角形 的交点,是三角形 圆的圆心,它到三个顶点的距离 .(三)重心:三角形 的交点,它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍.(四)垂心:三角形 的交点.(五)三角形的中位线:连结三角形两边 的线段是三角形的中位线.中位线定理:三角形的中位线 于第三边且等于第三边的 .要点诠释:(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为 ,外心为直角三角形 .(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的
3、内部.知识点三:全等三角形(一)定义:能完全 的两个三角形叫做全等三角形.(二)性质:(1)对应边 (2)对应角 (3)对应角的平分线、对应边的中线和高 (4)周长、面积 (三)判定:(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS)(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释:判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四:等腰三角形(一)定义:有 的三角形叫做等腰三角形.(二)性质:(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角 (等边对 )(3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相 (三线合一)(4)等边三角形的各角都 ,且都等于 .(三)判定
4、:(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (等角对 );(2)三个角都 的三角形是等边三角形;(3)有一个角为 的 三角形是等边三角形.要点诠释:(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五:直角三角形(一)定义:有一个角是 的三角形叫做直角三角形.(二)性质:(1)直角三角形中两锐角 ;(2)直角三角形中,30锐角所对的直角边等于斜边的 .(3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 .(4)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的 等于斜边的 .(5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b
5、,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 ;(7)SRtABC=ch=ab,其中a、b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高.(三)判定:(1)两内角 的三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于该边的 ,则这条边所对的角是直角,则这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的 等于第三边的 ,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边.知识点六:线段垂直平分线和角平分线(一)线段垂直平分线:经过线段的 并且 这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理:(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 .(2)与一条线段两个端点距离相等的
6、点,在这条线段的 上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点 的所有点的集合.(二)角平分线的性质:(1)角的平分线上的点到角的两边的距离 ;(2)到角的两边的距离相等的点在 上;(3)角的平分线可以看做是到角的两边 的所有点的集合.更多精彩请参看网校资源ID:#jdlt0#240254考点一:三角形的概念及其性质例1.三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是( )A.-6a-3 B.-5a-2 C.2a5 D.a-5或a-2举一反三:【变式1】已知a,b,c为ABC的三条边,化简得 .【变式2】有五根细木棒,长度分别为1cm,3cm,5cm,7cm,9cm,现任取其中的三根木棒,
7、组成一个三角形,问有几种可能( )A.1种B.2种C.3种D.4种【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4,则三角形的周长是 .例2.如图在ABC中,ABC=90,A=50,BDAC,则CBD的度数是 .例3.已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A,则此三角形中( )A.一定有一个内角为45B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形举一反三:【变式1】下图能说明12的是( )【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和,这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【变式3】下列命题:(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三
8、角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60;(4)锐角三角形中,任意两内角之和必大于90,其中错误的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个考点二:三角形的“四心”和中位线例4.与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )A.二条中线的交点 B.二条高线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点例5.一个三角形的内心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( )A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形举一反三:【变式1】如图,已知ABC中,A=58,如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求BOC的度数.【变式2】如果
9、一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形是( )A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段,是三角形的( )A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线例6.已知ABC中,ABBCCA=324,AB=12厘米,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则DEF的周长是 .举一反三:【变式1】求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.【变式2】已知:如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?ABCDEFHG证明:考点三
10、:全等三角形例7.对于下列各组条件,不能判定的一组是( )A.A=A,B=B,AB=ABB.A=A,AB=AB,AC=ACC.A=A,AB=AB,BC=BCD.AB=AB,AC=AC,BC=BC举一反三:【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是( )A.一边和任意两个角B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边D.三角对应相等例8.已知:AC=DF,BC=EF,AD=BE,你能判定BCEF吗?说说你的理由.ADBEFC证明:举一反三:【变式1】如图,已知:AC =DB,要使,只需增加一个条件是 .【变式2】如图,已知,ABC中,C=90,AM平分CAB,CM=20cm
11、,那么M到AB的距离是 .考点四:等腰三角形与直角三角形例9.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半例10.ABC等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,不添加辅助线,请你写出尽可能多的结论.ABCD答案:举一反三:【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50、80,则这个三角形是_三角形.【变式2】已知等腰ABC中,ABC=ACB=2A,且BDAC,垂足为D,求DBC的度数.解:【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是 .例11.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是( )A
12、. 1:2:4B. 1:3:5C. 3:4:7D. 5:12:13例12.将一张矩形纸片如图所示折叠,使顶点落在点.已知,则折痕的长为( )A. B.C.D. 举一反三:【变式1】下列条件能确定ABC是直角三角形的条件有( )(1)A+B=C;(2)A:B:C=1:2:3;(3)A=90-B;(4)A=B=C.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2】如图,一张直角三角形纸片,两直角边AC=4cm,BC=8cm,将ABC折叠,点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为( )A. B. C. D.5【变式3】已知:在直角ABC中,C=90,BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30,求证: AD=BD;