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1、中考数学压轴题解题策略例谈湖北省鹤峰县五里民族中心学校 周双照如图,已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A(1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EFBD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC的面积的最大值一、背景出处此题是2012年恩施州数学中考试题的压轴题,题干文字精炼,图形外观简洁
2、,设问由浅入深,内涵十分丰富. 本题涉及的知识点有二次函数、一次函数、平行四边形、垂线、平行线、函数解析式、点的坐标、面积、一元二次方程、轴对称求最短路径等初中数学的核心知识.压轴题一般由三个或四个小问题组成,这几个问题一般都是渐进式,层层递进.命题的基本思路是:立足教材,聚焦中考,力求创新.本题的原题是人教版九年级“二次函数”这一章中一个传统练习题(新老教材都有):抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.压轴题是中考试题的“制高点”,学生通过对此题的研究,就会明确中考压轴题编写的规律,从而能挑战中考压轴题,攻克“制高点”.这对提高学生解题能力和
3、应试能力,具有很强的现实意义.二、题目立意1 已知条件已知条件有三个: 抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A(1,0),C(2,3)两点;抛物线与y轴交于点N;抛物线顶点为D.需要解答的问题有四个.2 难点的位置 第(2)问学生能想到作N点关于直线x=3的对称点N,求出N(6,3)的思路; 第(3)问建立方程模型; 第(4)问建立函数模型.3 估计难度难度系数为0.4.4 易错点解答(3)题时,要对点E所在的位置进行分类讨论,以防漏解5 隐含条件由抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A(1,0),C(2,3)两点,可得设直线为y=kx+n过点A(1,0)及C(2,3)可得 由点M(3,m
4、),求使MN+MD的值最小,可作N点关于直线x=3的对称点N,则N(6,3),由(1)得D(1,4),故可求出直线DN的函数关系式. 由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),因点E在直线AC上,可设E(x,x+1),当点E在线段AC上时,点F在点E上方,知F(x,x+3),又因F在抛物线上,可得x+3=x2+2x+3;当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,可知F(x,x1),由F在抛物线上可得x1=x2+2x+3. 由P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC的面积的最大值,可知要将APC采用割补的方法,过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CGx轴于
5、点G,设Q(x,x+1),可得P(x,x2+2x+3)6 关键点第(1)问的关键是解方程组必须准确,因后面三个问题都与第(1)问的计算结果有直接联系;第(2)问的关键是作N点关于直线x=3的对称点N,则N(6,3);第(3)问的关键点是懂得关于“平行四边形的存在性问题解题策略”;第(4)问的关键点是建立函数模型.7 知识立意纵观近几年的中考试题,很多省市的中考压轴题通常以平面直角坐标系为背景,借助抛物线,要么考查点、线的运动状态下的几何图形面积(周长、线段长)的函数关系式或者其最值计算、定值证明;要么考查如何确定等腰三角形或者相似三角形、特殊的平行四边形的某个顶点的位置;要么考查分类讨论下的分
6、段函数.本题以教材中的练习题为基础,让学生循序而上,运用通性通法纵深探究.第(1)问考查利用待定系数法求函数解析式;第(2)问考查图形变换求最短路径;第(3)问求平行四边形的某个顶点坐标;第(4)问求面积的最值.后两问有新意,思维量高.8 能力立意从能力立意上看,通过学生观察、猜想、联想、计算、验证、推理等数学活动,使学生经历了问题的初步理解、深入探究、解决与回顾的过程,逐步发展了学生的动手操作、探究问题、合情推理和初步演绎推理的能力.三、解题策略我根据波利亚的怎样解题,自创了“四个什么”解题术,即“求什么”、“是什么”、“差什么”、“找什么”.第(1)问求什么:求抛物线及直线AC的函数关系式
7、.是什么:是用待定系数法进行解题题型.差什么:差方程组.找什么:找建立方程组所需点的坐标.第(2)问求什么:求点的纵坐标.是什么:是轴对称求最短路径题型.差什么:差使MN+MD的值最小的方法.找什么:根据自编口诀:“和最小,对称找,化折为直是技巧”,此问就很容易找出其解答的方法了.第(3)问求什么:判断以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?是什么:是属存在性问题模式.差什么:差建立方程模型的条件.找什么:根据存在性问题模式的解题思路、结合平行四边形的判定方法去寻找建立模型的条件.第(4)问求什么:求APC的面积的最大值.是什么:是根据函数求最值问题.差什么:差建立函数模型的条件.找什
8、么:一般采用分割的方法把APC的面积表示出来.解答:(1)由抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0)及C(2,3)得,解得,故抛物线为y=x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A(1,0)及C(2,3)得,解得故直线AC为y=x+1;(2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点N,则N(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN的函数关系式为y=x+,当M(3,m)在直线DN上时,MN+MD的值最小,则m=;(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),点E在直线AC上,设E(x,x+1),如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),F在抛物线上,x+3=x2+2
9、x+3,解得,x=0或x=1(舍去)E(0,1);当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x1)由F在抛物线上x1=x2+2x+3解得x=或x=E(,)或(,)综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(,)或(,);(4)方法一:如图3,过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CGx轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,x2+2x+3)PQ=(x2+2x+3)(x+1)=x2+x+2又SAPC=SAPQ+SCPQ=PQAG=(x2+x+2)3 =(x)2+面积的最大值为方法二:过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CGx轴于点G,如图3,设Q
10、(x,x+1),则P(x,x2+2x+3)又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=(x+1)(x2+2x+3)+(x2+2x+3+3)(2x)33=x2+x+3=(x)2+APC的面积的最大值为四、教学策略我根据教育学、心理学及新课程改革的新教学理念,自创了“初中数学五步教学法”.第一步:创设情境,激发兴趣.老师可说今天我们一起来挑战中考压轴题,看哪些同学能挑战成功?(教师可以准备一些奖品)第二步:自主探索,动手动脑.学生初次接触压轴题时,教师可以留给学生充足的探索时间,那是因为课堂一般是“七分等待,三分教学”.第三步:合作交流,质疑辨惑.学生在展示自己的成果过程中,开展合作交流;学
11、生在合作交流过程中,能够质疑辨惑.第四步:小结反思,理性升华.“编萝织框,全在收口”,师生通过小结反思,学生所学的知识得到掌握,能力得到提升.第五步:课堂检测,查漏补缺.教师通过提问、板演、变式训练、自测题等多种形式来检查教学效果,从而进行查漏补缺.五、思想方法此题主要考查了数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、转化思想及待定系数法、配方法等思想方法.第(1)问利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;第(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N,当M(3,m)在直线DN上时,MN+MD的值最小;第(3)需要分类讨论:当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x
12、,x+3)和当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x1),然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;第(4)问方法一:过点P作PQx轴交AC于点Q;过点C作CGx轴于点G,如图1设Q(x,x+1),则P(x,x2+2x+3)根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知SAPC=(x)2+,所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值;方法二:过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CGx轴于点G,如图2设Q(x,x+1),则P(x,x2+2x+3)根据图示以及三角形的面积公式知:SAPC=SAPH+
13、S直角梯形PHGCSAGC=(x)2+, 所以由二次函数的最值的求法可知 APC的面积的最大值;六、变式拓展笔者从事教学30年,发现通过此题的原题进行变式拓展的题目非常多,倍受命题者的青睐,现提供一组中考试题,希望同学们有所思、从而有所悟,悟出规律、悟出方法、悟出灵感、悟出思路,便会有所发现、有所提高、有所创新,最终达到“做一题、会一类、通一遍”的效果.变式拓展1:(十堰)抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(1,0),C(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当BDC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线顶
14、点为E,EFx轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若MNC=90,请指出实数m的变化范围,并说明理由菁优变式拓展2:(孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(0,3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PMx轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;(3)若P为抛物线在第一象限上的一个动点,过点P作PQAC交x轴于点Q当点P的坐标为时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为时,四边形PQAC是等腰梯
15、形(直接写出结果,不写求解过程)优网变式拓展3:(山西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线lAC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由(3)请在直线AC上找一点M,使BDM的周长最小,求出M点的坐标变式拓展4:(玉林)如图,抛物线y=(x1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(1,0)(1)求点B,C的坐标;(2)判断CDB的形状并说明理由;(3)将