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1、构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下，供参考一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓
2、住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_1. 解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90，应选(D)2评注：
3、本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1EB1G，知B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决解：取AE中点G, 连结GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG为平行四边形，MNABCSEFABCDDCBAMNCBACDA1C1C1C图7-6VB-AEF-，（13）SAEFd=（13）SBEFh，d=（SBEFhSAEF）.过点A作AO面BCD于O，DEEC21且EFBC，O必在EF上h=（3）a，易求得EF=（23）a，SAEF（12）EFAO（9）a，SBEF（18）a，d=（6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（6）a.用等体积法求点到面的
4、距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则三、专题训练1、是异面直线，过不在、上的任一点，一定可作一条直线，使与、都相交；一定可作一条直线，使与、都垂直；一定可作一条直线，使与、都平行；一定可作一条直线，使与、都异面其中正确的个数是（）01232如图7-7，正三棱锥-中，D、E、F分别是、的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）图7-7632随P点的变化而变化 3将锐角B为60，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角，若60，120，则两条对角线之间的距离的最值为（）Admax=
5、（32）a,dmin=（4）aBdmax=（34）a,dmin=（4）aCdmax=（4）a,dmin=（14）aDdmax=（2）a,dmin=（34）a4图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（） 5如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于_.图7-96空间四边形ABCD中，、分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30角，则AD和BC所成角的度数是_7异面直线、所成的角为（0（2），若，则_8如图7
6、-10，不共面的三条直线、相交于P，、B，c， 且、均异于P证明：直线AD与BC异面图7-109如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直若CAB90，90，60，求AD与BC所成的角图7-1110已知、是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线，使上任意一点P到、的距离都相等若存在，给出证明，若不存在，说明理由惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一选择题：1直线a, b是异面直线是指 ab=, 且a与b不平行； a面，b面，且平面=； a面，b面，且ab=； 不存在平面，能使a且b成立。上述结论正确的有 （A） （B） （C） （D）2直线a, b都
7、垂直于直线l，则直线a, b的位置关系是 （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）三种可能都有3两条异面直线的距离是 （A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的线段 （C）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D）两条直线上任意两点间的距离4若a, b是异面直线，c是a, b的公垂线，d2cm4cm4cm1C18如图，若正方体ABCDABCD的棱长为a，P为棱AB上的动点，Q为BC上的动点，则P，Q两点距离的最小值为 .19若异面直线AB, CD都与直线l垂直，垂足为B, D，AB=4, CD=2, AC=10, 且AB, CD成60角，则AC与直线l所成的角的正弦值为
8、.三解答题：20如图，AB和CD是两条异面直线，AB=CD=3，E, F分别为线段AD, BC上的点，且=, EF=，求AB和CD所成的角。21长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分别是A 1B 1和BB1的中点，求EH与AD 1所成角的余弦值。综合练习卷一选择题：1空间四点A, B, C, D，每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离是 （A）a （B）a （C）a （D）a2若异面直线a, b所成的角为80，则过空间任一点P可做不同的直线与a, b所成的角都是50，可做直线的数目为 （A）1条 （B）2条 （C
9、）3条 （D）4条3ABCD是空间四边形，边AB, BC, CD, DA所在直线中，互相垂直的直线至多有 （A）3对 （B）4对 （C）5对 （D）6对4如图， ABCA1B1C1是直三棱柱，BCA=90，点D1, E1分别是A1B1, A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AE1所成的角的余弦值是 （A） （B） （C） （D）5异面直线a, b，ab，c与a成30角，则c与b所成的角的大小范围是 （A）60, 90 （B）30, 90 （C）60, 120 （D）30, 1206在正方体AC1中，E, F分别是AB, BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是 （A） （B
10、） （C） （D）二填空题：7在空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是AB,BC, CD, DA的中点，如果16AC=BD，则四边形EFGH是 ；如果EG=FH，则AC与BD的位置关系是 ；如果EFG=130，则异面直线AC与BD所成的角是 。8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E, F, G, H, M, Q分别是棱AB, BC, CD, CC1, C1D1, DD1的中点，CM则AA1与所成的角的正切值等于 ；EF与GH所成的角为 ；BH与HQ所成的角为 。9空间四边形ABCD连对角线构成一个正四面体，E, F分别是AB, CD上的点，并且，若EF分别与AC, BD所成的角为和
11、，则+的大小为 。10在正方体ABCDA1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有 条。三解答题：11长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分别是A 1B 1和BB1的中点，求EH与AD 1所成角的余弦值。12长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=AD=2, AA1=1，E是AA1的中点，（1）求证：AC1, BD1, CA1, DB1共点于O，且互相平分；（2）求证：EOBD1, EOAA1；（3）求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值；（4）求异面直线AA1和BD1间的距离。参考答案求异面直线所成的角祁正红 求异面直线所成
12、的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。 例：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。 解法1：平移法 设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE1C1C1C1C1C1C1C1C掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角。【教学重点、难点】异面直线的概念、判定及计算它们所成的角。【教学过程】（一）复习：1公理4及等角定理；2同一平面内两直线的位置关系，观察空间两直线的位置关系。（二）新课讲解：1异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。2异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。证明 ：假设 直线与共面，点和确定的平面为，直线与共面于，与矛盾
