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1、第九章微分方程及其应用9.1微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程：dy2=xdxkx=f(t).dt/、d2x,dxmrhxdt2也+P(x)y=Q(x).dx,d-du(4)2h-dt2dtF(x,y,yy(n)=0.只含一个自变量的微分方程，称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，、为一阶方程，、为二阶方程，而为n阶方程。微分方程中可以不含有自变量或未知函数，
2、但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个13、1d侦x）函数就叫做微分方程的解。例如y=x3显然是的解，因为一3=x2。3dx若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例,13如y=x+兀就是的通解。31c从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。例如y=1x3+兀就是3的一个特解。用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应
3、值的条件称为初始条件。在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条1q件。例如，如果的初始条件为y（0）=兀，则在代入到通解y=x3+c后，可以求得c=R,从313而碍到特解y=x，十兀。3一般的，因为n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数。需要有n个（一组）定解条件，所以n阶方程的初始条件为：y（x）=y,y（x）=y，ylx。）=业,y（nN）=y其中yo,y，y2,yz为n个给定常数。微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线,特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。13例如，万程的积分曲线族如图91所示。其中y=x十兀就是满足
4、初始条件y（0）=兀的3特解。9.2微分方程的经典案例例1自由落体运动的规律自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律：物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比，其方向与外力的方向一致。当物体的运5动速度v的绝对值不大（与光速=310km/s相比较）时，其质重m可以是一恒重。于是这一运动定律能表达成ddv（mv）=F,或m=F（1）dtdt其中F表示物体所受外力的合力。对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有：1I-dSF=mg,v=这里g表示重力加速度，其大小一般取为：g=9.8m/s；dtS表示自由落体运动的路程，其大小以S表示之。dS汪
5、息到S的方向与g的方向一致，将F=mg,v=代入式后得到自由洛体运动立场大小dt.22-变化的规律：m=mg或=g（2）dtdt运动规律式表示一个微分方程问题。等式（2）的左端是路程大小S的二次微商它的右端是常数g。这里S和g之间不是普通的函数关系，而是二微商的关系。例2单摆运动单摆又称为钟摆或数学摆。所谓单摆运动是指一质量为m0的小球，用长度为l的柔软细绳拴住，细绳的一端固定在某点。处。小球在铅垂平面内运动，略去空气的阻力和细绳在O点处的摩擦力。并且认为细绳的长度l不变，仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉力（见图92）。在铅垂平面内引进以O为坐标原点的极坐标系统，由于细绳长度不变且细绳总是直的
6、，所以小球的位置用一个坐标e（t就能表示。这里B表示细绳l和铅垂方向之间的夹角。铅垂方向即是小球的平衡方向，它对应的B为零。作用在小球上的地球引力的大小f为mg,其方向铅垂向下。重力沿细绳方向的分力的大小为mgcos,其方向沿细绳指向外。这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。所以小球沿细绳方向没有运动。重力在垂直于细绳方向的分力的大小为mgsine，它的方向与角。增加的方向相反。根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为:(3)d.屈mv=-mgsin根据圆周运动规律有：l.史=vdt于是从式（3）得出:l*=-gsin(4)关系式（4）是包含8及其二接微商的方程，并且sine这种非线性形式）。从
7、方程（4）来求出8随着时间变化规律的分析表达式是困难的。8不是线性而是非线性地出现在方程中（以当2|比较小时，对微分方程（4）能够进行线性化出处理，即用0代替sine,或者说，用Q来近似sine。这样得到式（4）的线性化微分方程:i专=。dt在相同初始条件下服从微分方程（5求得的9随时间t变化的规律（t混单摆运动的近似规律。通常将式（5#写成如下的规范形式:E*odt2(5)其中k2=皇l例3真空中的抛射体运动在真空中运动的抛射体，它的运动规律十分复杂。这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。即忽略抛射体所受的空气阻力，而仅考虑质量为m的抛射体受地球引力作用而引起的运动。取一直角坐标系Oxyz,O
8、x轴沿水平方向；Oy轴垂直于Ox轴；Oz轴垂直于xOy平面，并与Ox轴、Oy轴一起组成右手坐标系。依牛顿第二定律，抛射体的运动规律为:d2xm2=0dt2d2zmy=-mgd2ym2=0dt2(6)抛射体的初始状态取为:-l-x0=y0=z。=0;dx|一dydz._|t_。=v。cosj,|t_。=0,|t_。=v。sin土dt-dt-dt-T一一.T.T一其中V0是抛射体的初始速度，位于xOy平面内，V0表示V0的大小；a表示v与水平万向(即Ox轴)之间的夹角(见图9-4)。例4深水炸弹的水下运动h(m)处自由下落至海平面时,一质量为m的深水炸弹，从高为h(m)处自由下落到海中。这里不考虑
9、深水炸弹在水平方向的运动，而仅考虑它在铅直方向的运动。由经典力学知：物体由高为其铅垂方向的速度V0为：v=Y2gh这里g为重力加速度。按如下方式取定坐标系：坐标原点。取在海平面上某处，Ox轴沿铅垂向下，(见图9-5)。深水炸弹m自高度为h(m)处自由下落至海平面的时间为t0。于是深水炸弹的初始状态为：dxxt=0,|t=t=v=.2ghdt深水炸弹在海中运动时，我们不考虑海水对它的浮力，这时炸弹受到两个力的作用，：一是地球引力mg,其方向铅垂向下；另一个是海水对炸弹的摩擦力。这个摩擦力是很复杂的，它和炸弹的形状、速度等因素有关，这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度v成正比，比例系数即摩擦系数
10、u为常数。摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反，因而是铅垂向上的。于是摩擦力f能表示为:dx=-uv=-udt根据牛顿第二定律知深水炸弹在水下运动的规律为:m虫=-uvmgdt,2,(7)dxudx_r=gdt2mdt例5放射性元素的衰变铀的含量就不断减少，这种现M成正比。已知t=0放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其他元素，象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律。解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数些，由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得dt微分方程一dMdt-，Mdt其中烦L0洗常数，叫
11、做衰变系数。九前置符号是由于当t增加时M单调减少，即业0，增长率r(x)r,为了确定系数s的意义，弓I入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量常微分方程在数学建模中的应用摘要随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。由于国民收入是资金积累的一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。因此研究资金积累、国民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。本文通过微分方程建立有关人口增长与资金积累、国民收入
12、的关系的模型。关键词：总资金积累人口平均资金积累国民平均收入资金积累增长人口增长一、人口预测模型由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长，为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多，如人口的白然出生率、人口的白然死亡率、人口的迁移、白然灾害、战争等诸多因素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型.而此次讨论的则是资金积累、国民收入与人口增长的关系。在人口白然增长过程中，净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数设为r,而若
13、国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明反当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。在此假设下，推导并求解人口增长与资金积累、国民收入的关系。二、问题的重述资金积累、国民收入、与人口增长的关系:(1) 若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.(2) 作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.三、问题分析人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关，若总人口数的增长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。四、模型假设假设总资金增长和人口增长均为指数增长，资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。五、符号说明
